七年级数学《实数》单元教学设计

初中七年级数学“实数”单元教学设计课题：第六章“实数”单元教学设计教材版本：人教版数学教科书教学年级：七年级（下册）一．教材分析本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。同时，在理论的运算中也常用开方运算，故务必要学好。二．学情分析本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实数等内容。在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。三．教学目标（一）知识与技能1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根；3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运算。4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。（二）过程与方法通过学习算术平方根、平方根、立方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。用类比的方法探寻出平方根与立方根的运算及表示方法，并能自己总结出算术平方根与平方根，平方根与立方根的异同。用数形结合的方法理解实数与数轴上的点的一一对应关系，实数的绝对值，相反数的意义。（三）情感与态度1.通过解决实际生活中的问题，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。2.通过对平方根的学习，培养学生从多方面、多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯。3.通过探究活动培养学生动手能力，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，激发学习兴趣，提高学习热情。四．重点、难点（一）教学重点：1.平方根和算术平方根的概念。平方根是开方运算基础，是引入无理数的准备知识。平方根概念的正确理解有助于用符号表示的理解，是正确求平方根运算的前提。算术平方根概念的正确理解直接影响到二次根式的学习。算术平方根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点。在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算。2.立方根的概念与性质及求法。立方根是奇次方根的典型类型，掌握立方根是理解的n次方根的基础。学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，但平方根和立方根的性质区别较大，性质掌握的好坏决定了求解立方根的能力，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上。3.无理数和实数的概念。引入无理数使数的范围扩大到实数，初中的所有数的运算均在实数范围内进行的。无理数概念的理解决定实数概念的理解，有利于实数分类和运算的掌握。要让学生掌握关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍成立，这是中学数学的基础。（二）教学难点：1.平方根与算术平方根的区别与联系。这两个概念学生容易混淆，而且各自的符号表示的意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根为平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示方法。对于平方根的运算，不仅被开方数有限制，而且正数有两个平方根，这与以前学过的数的运算有很大的区别，要让学生真正理解有一定的困难。2.立方根的唯一性及负数立方根的意义。由于平方根的学习，学生容易错误的得出立方根与平方根的结论相似，因此要进行对比：对于任何一个数都有唯一的立方根，而且学生难于理解负数立方根的意义，应注意从立方与开立方互为逆运算的角度分析。3.无理数和实数的理解。无理数和实数比较抽象，借助实数和数轴上的点的一一对应关系，通过具体数加以解释。有理数和无理数统称实数，学生对实数意义有所了解就可以了。五．教学方法1.平方根与算术平方根：①要引导学生通过计算两个不为零的相反数的平方是同一个正数，总结出“一个正数有两个平方根，他们互为相反数”的性质，加深感性认识。②要引导学生正确认识算术平方根的两个非负性，一是被开方数的非负性，二是算术平方根本身的非负性，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。③通过题组训练，引导学生总结平方根与算术平方根的区别和联系，使学生正确理解正数的平方根有两个，它们互为相反数；正数的算术平方根只有一个，是平方根中为正的那一个。2.立方根：①应引导学生类比平方根来学习立方根的概念、性质、求法，并启发学生与平方根的相应结论进行联系、比较，弄清两者的区别与联系，并适当分析结论不同的原因。②要引导学生将求负数的立方根问题转化为求正数的立方根问题。3.无理数与实数：①首先要引导学生复习有关有理数的知识，让学生了解有理数包括有限小数和无限循环小数，为学习无理数做好准备。②要引导学生分清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的区别，使学生理解无限循环小数可以化成分数，它是有理数；无限不循环小数不能化成分数，它是无理数，从而启发学生总结有理数与无理数的区别，真正能分清楚有理数与无理数。③要引导学生用数轴上的点来表示无理数和有理数，将所学知识联系起来，使学生了解无理数的存在性；并理解实数与数轴上的点的一一对应关系。④利用数轴说明相反数、绝对值的定义和性质同样适用于实数；引导学生明确有理数的运算法则，运算律同样适用于实数，使学生能够按照有理数的运算法则，运算律进行实数的运算。六．教学流程1．单元教学阶段规划分三阶段进行：平方根部分为第一阶段，立方根部分为第二阶段，实数部分为第三阶段。2．课时分配6.1平方根3课时（算术平方根2课时，平方根1课时）6.2立方根2课时6.3实数2课时3．知识结构图乘方互为逆运算有理数开方实数开平方开立方无理数平方根立方根4．算术平方根教学设计案例第六章实数6.1平方根第1课时算术平方根【知识与技能】1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根.【过程与方法】通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维.【情感态度】通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣.【教学重点】理解算术平方根的概念.【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.一、情境导入，初步认识教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果.问题1求出下列各数的平方.1,0,(-1),-1/3，3，1/2.问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数.25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69.对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式.由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5.02=0,故平方为0的数为0.22=4,(-2)=4，故平方为4的数为2或-2.问题3学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少?分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm.二、思考探究，获取新知教师归纳出新定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”，a叫作被开方数.规定:0的算术平方根是0.例1求下列各数的算术平方根.分析：正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,负数没有算术平方根.【教学说明】(1)算术平方根是非负数,要注意不要弄错算术平方根的符号.如:不要把23-）（=3写成23-）（=-3;(2)要审清题意,不要被表面现象迷惑.如求81的算术平方根,错误地理解为求81的算术平方根81.探究:当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?举例说明所得结论.【教学指导】当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,252a=5,5是-5的相反数,故a0时,a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.当a2为正数时,a的算术平方根表示为2a,其值为a,即2a=a.当a=0时,2a=0.【教学说明】应用上述结论解题时,可如例题的解答写出过程,熟练后再直接写出结果.对2a结果的讨论,可以检验学生是否真正理解了算术平方根的含义.学生中出现的问题,可由学生间交流讨论.教师向学生介绍用计算器求算术平方根的方法，并由学生实际运用，体会方法.三、运用新知，深化理解【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.【答案】1.A2.A3.D四、师生互动，课堂小结1.读一读本节课学习的主要内容,说出平方根与平方的关系.2.算术平方根的意义是什么样的?3.怎样求一个正数的算术平方根?【教学说明】小组间学生互相交流并总结.1.布置作业：从教材“习题6.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时采用观察、思考、讨论等探究活动归纳得出相应结论，使学生感受到算术平方根的概念与以前学过的求一个数的平方之间的联系.教学时应注意让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程，从而更好地接受新知识.