4.有限差分法基本原理

有限差分法基本原理流体的控制方程VVV322322322zwzywzvyzuxwxwpDtDwzvywzyvyxvyuxypDtDvzuxwzxvyuyxuxxpDtDu0uvwtxyz数值离散概述有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。离散网格点差分和逼近误差差分概念：设有的解析函数，函数对的导数为：x)(xfyyxxxfxxfxydxdyxx)()(limlim00、分别是函数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的、分别称为函数及其自变量的差分，为函数对自变量的差商。dxdydxdyxyxy差分的三种形式（一阶）：向前差分)()(xfxxfy向后差分)()(xxfxfy中心差分)()(xxfxxfy与其对应的差商的三种形式（一阶）：向前差商xxfxxfxy)()(向后差商xxxfxfxy)()(中心差商xxxfxxfxy2)()(差分和逼近误差由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差分和逼近误差差分和逼近误差用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。差分和逼近误差差分和逼近误差逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。由函数的Taylor级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用差商代替导数的精度。差分和逼近误差差分和逼近误差差分和逼近误差差分和逼近误差二阶中心差分：二阶中心差分：差分和逼近误差差分和逼近误差混合偏微分二阶中心差分：21,11,11,11,122,()=+[(),()]4ijijijijijuuuuuxyxyxy小结小结思考：边界如何处理？差分方程的建立过程差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。模型方程为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：对流方程：0xt对流－扩散方程：22xxt热传导方程：22xtPoisson方程：fyx2222Laplace方程：02222yx差分方程的建立过程以对流方程说明差分方程的建立过程。)()0,(0xxxt1.划分网格选定步长和，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格：xt...,,2,1,0...,,2,1,0,0ntntixixxni2.针对某一点，用差商近似代替导数对流方程在点为),(nitx0ninixt差分方程的建立过程ttxxix1ix1ixnt1nt1nto时间导数用一阶向前差商近似代替：ttninini1空间导数用一阶中心差商近似代替：xxninini21102111xtnininini则对流方程在点对应的差分方程为),(nitx差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：)()(20111iininininixxt观察上述差分格式可看出：若知道第层的，可由一个差分式子直接算出第层的，故称这类格式为显示格式。n1n显式有限差分模板：时间推进：显式和隐式算法•热传导方程•显式（中心二阶差分）•隐式算法（将空间差分写成n和n+1时刻的平均）22TTatx1323212(2)()nnnnntTTaTTTx111111112111()(22)()222()nnnnnnnniiiiiiiiTTTTTTTTatx隐式方法需要同时求解非线性方程组！显式和隐式算法•显式算法•相对简单；对给定的有一个由稳定性要求的上限。•隐式算法•较大时仍可满足稳定性的要求；但是相对复杂，通常在每个时间步都需要处理大型的矩阵，由于采用的较大，截断误差也较大，因此跟踪物理量的变化没有显式方法得到的结果精确。,txtt收敛性收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问题。如果在求解区域中的任一离散点上，当网格步长、趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有限差分方程的解是收敛的。一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。),(txtxtitxTniT0,0lim),(误差及稳定性分析2.稳定性（1）离散误差。离散误差由差分方程的截断误差和由边界条件的数值处理方法引入的误差组成。（2）舍入误差。在计算中不断舍去有限位数以后的数字引起的数值误差。稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。定义D为差分方程的精确解,因此它精确满足差分方程。可以写出：分析例题稳定性分析方法简介上式称为误差传播方程。22TTatx一维热传导方程1112(2)()nnnnniiiiitTTaTTTx1112(2)()nnnnniiiiitDDaDDDx1112(2)()nnnnniiiiitax11nini21()2tax3.Lax等价定理对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最基本的定律。适用条件：1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到证明。重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。•网格和相应变换标准的有限差分方法要求在均匀的网格上进行，因为没有在非均匀网格上利用有限差分方法求解流动控制方程的直接方法•方程的一般变换(,,)(,,)()xytxytt将物理平面的自变量（x,y,t)转换到计算平面内的新的自变量(,,)•方程的一般变换•方程的一般变换•拉伸（压缩）网格ddyeye•椭圆网格•椭圆网格•自适应网格•自适应网格•非结构网格和笛卡尔网格