正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)正弦定理:=______=______=2R(R是△ABC外接圆的半径)asinAbsinBcsinC(2)余弦定理:①在△ABC中,有a2=_____________;b2=_____________;c2=_____________.②在△ABC中,有:cosA=__________;cosB=__________;cosC=__________.b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数_________________________一解两解一解一解无解2.必备结论教材提炼记一记(1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,其变式有:A+B=_____,=_______等.(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_____;cos(A+B)=______;sin=_______;cos=_______.ππ-CAB2πC22sinC-cosCAB2AB2Ccos2Csin2(3)正弦定理的公式变形:①a=_______,b=_______,c=_______;②sinA∶sinB∶sinC=_________;③sinA=,sinB=____,sinC=____;④2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶ca2Rb2Rc2Rabcabc.sinAsinBsinCsinAsinBsinCabcosCccosB,4bacosCccosA,cbcosAacosB.三角形中的射影定理3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法：代入法、边角转化法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.()(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.()(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.()(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(5)在△ABC中,若sinAsinB,则AB.()【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,由sinAsinB得ab,即AB.答案:(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√a2Rb2R2.教材改编链接教材练一练(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=()A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】选B.先求B.cosB=因为0°B180°,所以B=60°,故A+C=120°.222acb2564491,2ac2582(2)(必修5P4T1(2)改编)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,则a=.【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理,得答案:10csinA20sin60a106.sinCsin4563.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知得出sinB=由于0Bπ,所以B=答案:π6313πsinBsin6，3.2π2π.33或π2π33或(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于.【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+4-2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.答案:13考点1正弦定理的应用【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有()A.一个B.两个C.0个D.无法确定(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.6ab(3)(2015·吉林模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=75°,则AD的长为.3【解题提示】(1)利用正弦定理计算.(2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.(3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB=因为ba,所以B=60°或120°.故满足条件的三角形有两个.(2)由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,即sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,所以=2.答案:2bsinA6sin453.a22ab(3)过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°.由正弦定理得AD=答案：1BCBE32cosB,B30.ABAB2故ABsinB2sin30sinADBsin105162.624462【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗?(1)选B.数形结合法:如图,CD=×sin45°=,又a=2,b=,所以CDab,故满足条件的三角形有两个.(2)如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.答案:2636ab【规律方法】1.正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边：即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.bsinAasinBasinCab,csinBsinAsinA＝，asinB,bbsinAcsinAsinB,sinCaaasinAbsinBcsinC,,,bsinBcsinCasinA2.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.【变式训练】(2015·三门峡模拟)已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A.x2B.x2C.2x2D.2x2【解析】选C.由题设条件可知x2且xsin45°2，所以2x2.232【加固训练】1.在△ABC中，a=10，B=60°,C=45°,则c等于()A.10+B.10(－1)C.+1D.10【解析】选B.A=180°－(B＋C)=180°－(60°+45°)=75°.由正弦定理，得3333210asinC10sin452c1031.sinAsin75624－2.(2015·绵阳模拟)在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB=b,则角A=.【解析】由正弦定理得2sinA·sinB=sinB,又sinB≠0,故sinA=,又0°A90°,所以A=60°.答案:60°33323.(2015·黄山模拟)若△ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三角形三内角之比为.【解析】因为A+C=2B，不妨设A=B-α,C=B+α.因为A+B+C=π,所以B-α+B+B+α=π,所以B=再设最小边为a,则最大边为2a.由正弦定理得即sincosα+cossinα=2(sincosα-cossinα),所以tanα=,α=所以三内角分别为它们的比为1∶2∶3.答案：1∶2∶3π.3a2a,ππsin(α)sin(α)33ππsin(α)2sin(α),33即π3π3π3π333π.6πππ,,632，考点2余弦定理的应用【典例2】(1)(2015·青岛模拟)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围是()A.8x10B.2xC.2x10D.x8210210(2)(2015·咸阳模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b+c)(a-b-c)+bc=0,则A=.(3)(2014·辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac,已知=2,cosB=,b=3,求:①a和c的值;②cos(B-C)的值.BABC13【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求解.(2)已知三边的关系求角用余弦定理.(3)①利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;②利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.【规范解答】(1)选B.因为31,所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故又因为x0,所以22x10.＜＜22222221x3,8x10.13x,即(2)因为(a+b+c)(a-b-c)+bc=a2-(b+c)2+bc=a2-b2-c2-bc=0,所以a2=b2+c2+bc,cosA=又A∈(0,π),所以A=π.答案:π222bcabc1.2bc2bc22323(3)①由=cacosB=2，所以ac=6.又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，所以a2+c2=13，因为ac，解得a=3,c=2.②由a=3,b=3,c=2得cosC=sinC=由cosB=得sinB=所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=1BABC2cosBBABC3，得222abc72ab9，2421cosC9，132221cosB;317224223.393927【互动探究】对于本例(2),若△ABC的三边a,b,c满足a2=b2+c2-则A=______.【解析】由余弦定理，得cosA=因为A∈(0,π),所以A=.答案：3bc,222bca3bc3,2bc2bc2π6π6【规律方法】1.利用余弦定理解三角形的步骤2.利用余弦定理判断三角形的形状在△ABC中,c是最大的边,若c2a2+b2,则△ABC是锐角三角形;若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形;若c2a2+b2,则△ABC是钝角三角形.提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【变式训练】(2015·合肥模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=()【解析】选B.因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=因为b+c=2a,所以c=所以cosC=因为C∈(0,π),所以C=π2π3π5πA.B.C.D.33465b.37b,3222abc1,2ab22π.3【加固训练】1.在△ABC中,若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最大内角为()A.60°B.90°C.120°D.150°【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0),则c为最大边,角C为三角形中最大内角,由余弦定理,得cosC=所以C=120°.222abc12ab2－－，2.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则=.【解析】因为C=60°,所以a2+b2-c2=ab,所以a2+b2=ab+c2,等式两边都加上ac+bc,整理得(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),所以答案:1abb