一轮复习-数列求和专题

数列的求和一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn⑥2+4+6+…+2n=；⑦1+3+5+…+（2n-1）=；n2+nn2例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS2.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列可求出前n项和nnnabc{}nc{}nb{}na例3.求下列数列的前n项和（1）111112,4,6,,248162nn解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比例4、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1①xSn=x+2x2+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。相减例4、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn1-(1+n)xn+nxn+11-x=∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn…………………练习：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n111113523214822nnnnn1解：设S=12111132321822nnnnn11S=124相减得，111122221822nnnn111S=1224111122221422nnnn1S=12111212422nnn1=121111212221212nnn=1232nn=32.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.{}an{}an{}bnn3nan变式探究2．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.{}an{}an{}bnn3nan解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①n3a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，②①－②得3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)．∴an＝13n(n≥2)．验证n＝1时也满足上式，∴an＝13n(n∈N*)．a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，②①－②得3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)．∴an＝13n(n≥2)．验证n＝1时也满足上式，∴an＝13n(n∈N*)．(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，－2Sn＝3－3n＋11－3－n·3n＋1，Sn＝n2·3n＋1－14·3n＋1＋34＝2n－1·3n＋1＋34.－2Sn＝3－3n＋11－3－n·3n＋1，Sn＝n2·3n＋1－14·3n＋1＋34＝2n－1·3n＋1＋34.列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.5nnnnnnn)(11.4bababa常见的裂项公式有：16.11nnnn1nn＋1＝1n－1n＋1，12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2.nn＋1！＝1n！－1n＋1！.1121121121122nnnnn7n·n！=（n+1）！-n！；89例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？拆项相消法11×3=（-213111）1111()35235例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。〔〕【分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.【解析】求数列,…的前n项和.841,631,421,2112222++++)2+n1-n1(21=2n+n1=a2n21∴)2+n1-n1(+)1+n1-1-n1•(••+)41-21(+)31-(12)1)(n2(n32n-43)2n1-1n1-211(21+++=+++=变式探究：设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列{an}的通项公式；（2），Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.nSn1nnnaa3b+=20m例4.（1）依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,∴an=6n-5(n∈N*).nSn（2）由(1)得bn=故Tn=b1+b2+…+bn因此，使得(n∈N*)成立的m必须满足,即m≥10.故满足要求的最小正整数m为10.1nnaa3+[]).16n1-5-6n1(215-1)6(n5)-(6n3+=+=21=)16n1-5-6n1()131-71()71-1(++•••++〔〕)16n1-1(21+=20m)1+6n1-(12120m21≤cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法,+n1练习1.求数列+23,+的前n项和。,222,32n2+123n解：=(1+2+3+…+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+)2232ｎ2+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21例7：已知数列5，55，555，5555，…求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+……+(1+2+22+……+2n-1)通项分析求和通项=2n-1练习求和：1111+++.....+11+21+2+31+2+3+4+....+n先求通项再处理通项1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn