2013届高考数学一轮复习讲义：专题四-数列的综合应用

主页一轮复习讲义数列的综合应用主页1．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．2．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．3．解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．要点梳理忆一忆知识要点主页4．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝r1＋rn1＋rn－1a.忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列，由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点．当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p、q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．主页(2)对于等比数列：an＝a1qn－1.可用指数函数的性质来理解．①当a10，q1或a10,0q1时，等比数列是递增数列；②当a10,0q1或a10，q1时，等比数列{an}是递减数列．③当q＝1时，是一个常数列．④当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．2．解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题、精心联想、沟通联系；(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．主页例1在等比数列{an}(n∈N*)中，a11，公比q0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；(3)试比较an与Sn的大小．等差数列与等比数列的综合应用(1)利用定义法即可解决；(2)先求{bn}的首项和公差，再求{an}的首项及公比；(3)分情况讨论．主页(1)证明∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)解∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.主页∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(3)解显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.主页在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项．探究提高主页已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．变式训练1(1)证明由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．主页(2)解由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，an＝1＋1－qn－11－q，q≠1，n，q＝1.上式对n＝1显然成立．(3)解由(2)，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.主页由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．于是q＝－32.另一方面，an－an＋3＝qn＋2－qn－11－q＝qn－11－q(q3－1)，an＋6－an＝qn－1－qn＋51－q＝qn－11－q(1－q6)．由①可得an－an＋3＝an＋6－an，即2an＝an＋3＋an＋6，n∈N*.所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．主页例2已知函数f(x)＝log2x－logx2(0x1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．数列与函数的综合应用(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性．主页解(1)由已知得∴an－1an＝2n，即a2n－2nan－1＝0.∴an＝n±n2＋1.∵0x1，∴02an1，∴an0.∴an＝n－n2＋1.(2)∵an＋1an＝n＋1－n＋12＋1n－n2＋1＝n＋n2＋1n＋1＋n＋12＋11，又∵an0，∴an＋1an，∴{an}是递增数列．221log2,log2nnaa主页本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查学生的逻辑分析能力．探究提高主页已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为417，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0(n∈N*)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n.变式训练2解(1)设f(x)＝a(x－1)2(a0)，则直线g(x)＝4(x－1)的图象与y＝f(x)的图象的两个交点为(1,0)，4a＋1，16a.主页∵4a2＋16a2＝417(a0)，∴a＝1，∴f(x)＝(x－1)2.(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0.∵a1＝2，∴an≠1，∴4an＋1－3an－1＝0，∴an＋1－1＝34(an－1)，且a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为1，公比为34的等比数列，∴an－1＝34n－1，即an＝34n－1＋1.主页(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)，令bn＝y，u＝34n－1，则y＝3u－122－14＝3u－122－34.∵n∈N*，∴u的值分别为1，34，916，2764，…，经比较916距12最近，∴当n＝3时，bn有最小值是－189256，当n＝1时，bn有最大值是0.主页例3已知数列{an}，{bn}满足a1＝14，an＋bn＝1，bn＋1＝bn1－a2n.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求实数a为何值时，4aSnbn.数列与不等式的综合应用解(1)bn＋1＝bn1－an1＋an＝bnbn2－bn＝12－bn.∵a1＝14，∴b1＝34，∴b2＝45，b3＝56，b4＝67.主页(2)∵bn＋1－1＝12－bn－1，∴1bn＋1－1＝2－bnbn－1＝－1＋1bn－1.∴数列1bn－1是以－4为首项，－1为公差的等差数列．∴1bn－1＝－4－(n－1)＝－n－3，∴bn＝1－1n＋3＝n＋2n＋3.(3)an＝1－bn＝1n＋3，∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝14×5＋15×6＋…＋1n＋3n＋4＝14－15＋15－16＋…＋1n＋3－1n＋4＝14－1n＋4＝n4n＋4.主页∴4aSn－bn＝ann＋4－n＋2n＋3＝a－1n2＋3a－6n－8n＋3n＋4.由条件可知(a－1)n2＋(3a－6)n－80恒成立即可满足条件．设f(x)＝(a－1)x2＋3(a－2)x－8，则a＝1时，f(x)＝－3x－80，恒成立；a1时，由二次函数的性质知不可能成立；a1时，对称轴x＝－32·a－2a－1＝－321－1a－10.f(x)在[1，＋∞)上为单调递减函数．f(1)＝(a－1)＋(3a－6)－8＝4a－150.∴a154，∴a1时，4aSnbn恒成立．综上知，a≤1时，4aSnbn恒成立．主页由an＋bn＝1得到an的表达式，然后利用裂项相消法求得Sn，将4aSnbn转化为(a－1)n2＋(3a－6)n－80对任意n∈N*恒成立，设f(x)＝(a－1)x2＋3(a－2)x－8，对x2的系数分a＝1，a1及a1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a的取值范围．探究提高主页已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Snm－20032对一切n∈N*成立，求最小正整数m.变式训练3解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．主页又a1＝1，∴an＝23n＋13.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋4n3＋132＝－49(2n2＋3n)．(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13＝9212n－1－12n＋1，又b1＝3＝921－13，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝921－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝921－12n＋1＝9n2n＋1，主页∵Snm－20032对一切n∈N*成立，即9n2n＋1m－20032，9n2n＋1＝921－12n＋1递增，且9n2n＋192.∴m－20032≥92，即m≥2012.∴最小正整数m＝2012.主页例4某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中