数学必修5《数列》单元总结复习

数学必修⑤《数列》单元总结复习qaann1dnaan)1(111nnqaadmnaamn)(mnmnqaa2)(baAabG22)1(2)(11dnnnaaanSnn1111)1(111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaa一、知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,,kkkkkSSSSS232,,仍成等差仍成等比1211nSnSSannn等差数列等比数列定义通项通项推广中项性质求和公式关系式nnSa、适用所有数列Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为daadadadaa,,;2,,或者，yyxx,2,aqaqa,,2.三个数成等比数列，则这三个数可设为，也可以设为.,,2aqaqa例1(1).已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.析：设这三个数为dxxdx,,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx∴所求三个数分别为3，5，7解得x＝5，d＝或7，5，3.±2.二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。例1(2)：互不相等的三个数之积为，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.8设这三个数为，则aqaqa,,8aqaqa即：283aa（1）若qq2,22是的等差中项，则422qq即：0122qq1q与已知三数不等矛盾（2）若qq2,22为的等差中项，则qq211即：0122qq21q三个数为2,1,44,1,2或（3）若2,22qq为的等差中项，则qq21即：022qq2q三个数为2,1,44,1,2或综上：这三数排成的等差数列为:4,1,22,1,4或Ⅱ、运用等差、等比数列的性质例2（1）已知等差数列满足，则()}{na010121aaa0A.1011aa0B.1002aa51D.51a0C.993aa130A.170B.210C.260D.（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.214321aaaa析：67321nnnnaaaa2862)(1nnaanS22467211naaC（2）已知等差数列前项和为30，前项和为100，则前项和为()}{namm2m3C例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：100nnnaSa是最小值１．当a1＜0,d＞0时,２．当a1＞0,d＜0时,100nnnaSa是最大值思路1：寻求通项∴n取10或11时Sn取最小值111199(91)1212(121)22adad1110da即：da30311011)10)(1(111naanaan010a易知011a012a由于01aⅢ、等差数列的最值问题例３.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.思路2：从函数的角度来分析数列问题.设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:111199(91)1212(121)22adad110ad111(1)10(1)22nSnannddnnnd∵a10,∴d0,∵d0,∴Sn有最小值.又∵n∈N*,∴n=10或n=11时,Sn取最小值即：da3031212122dndn222121()228dnd例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小?分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前n项和Sn的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.因为S9=S12,又S1=a10,所以Sn的图象所在的抛物线的对称轴为直线n=(9+12)÷2=10.5,所以Sn有最小值∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小nSnon=2ba10.5类比:二次函数f(x),若f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=(9+12)÷2=10.5若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=2思路3：函数图像、数形结合令2nSAnBn故开口向上过原点抛物线设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为，则由题意得q(2)47)21((1)2)1(2qdqd21,3qd23nan121nnb解析：121)23(nnnnnbac通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：错位相减法——错项法例4已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；(2)设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn47＝1，a2b2＝2，a3b3=．Ⅳ、等差、等比数列的综合应用解析：121021)23(217214211nnnSnnnS21)23(21721421121321两式相减：nnnnnnnS223211)211(213121)23(2132132131211121113326642(4)82222nnnnnnnS错位相减法121)23(nnnnnbacnnccccS321221)53(nn21)53(1nn1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（）,38的特点,在括号内适当的一个数是______2.在等比数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____3.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为（）A.20B.22C.24D.28319C4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301=（）A.100B.101C.102D.103B5.若｛an}是等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于（）A.5B.1C.15D.10A三、基础练习6.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则a17+a18+a19+a20的值等于()A.7B.8C.9D.10C7.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d的取值范围8.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通项公式9.数列{bn}中,b1+b2+b3=,b1b2b3=,若{an}是等差数列,且bn=,求{an}的通项公式82181na)21(三、基础练习谢谢！