1.2 正弦定理余弦定理应用举例

1.2正弦定理余弦定理应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？）的距离（精确到求通过测量得：mABCAmAC1.0,50,75,5000题型一与距离有关的问题练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？BACba，则为角以及距离为测量得出取某一点CabBCACC,,,由余弦定理得：cos222abbaAB要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例1】3思维启迪解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得3sin7562.sin602BC2226262(3)()23cos752232335,5(km).5km.ABABAB、之间的距离为32.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.正北3、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图3、坡角：坡面与水平面所成的角的度数.4、坡度：坡面上升量与前进量的比值.[例2].在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为（）解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=400400200200A.mB.3mC.3mD.m33332003.32003320033200tan30,3200400200.33BCCDBDA题型二与高度有关的问题练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角β＝30°。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC)(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得，解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC[例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.313题型三与角度有关的问题则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.3336sin10sin1201sin,2103BDCBDtBCDCDt3解:设缉私船用th在D处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC由正弦定理，解：如图，在△ABC中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222BACACABABACBCA2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB405010∴我舰的追击速度为14海里/小时，28BC　　练习又在△ABC中由正弦定理得：1435sinsinsinsinBCAACBABCBAC故38B故我舰航行的方向为北偏东5038121.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法感悟提高