1.2 直角三角形的性质和判定(2) 第二课时

在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.复习答：（1）c=；（2）；（3）534b214a.102动脑筋如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图1-16在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，图1-17由勾股定理得，（m）.224151375371AB...图1-16由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△中，计算出，则可得出梯子往上移动的距离为（-AB）m.ABCABAB即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.图1-17因此=3.87-3.71=0.16（m）.AA在Rt△中，=4m，=1m，故224115387mAB..（）ACABCBC（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？例2宋刻《九章算术》书影分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解图1-18因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.则芦苇长为13尺.我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.”那么，这个定理的逆命题成立吗？探究如图1-19，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？图1-19如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.∵a2+b2=c2，图1-20∴=c.AB如图1-20，作Rt，使∠=90°，=a，=b.ABC△CBCAC在Rt中，根据勾股定理得，2=a2+b2，ABC△AB∴2=c2.AB∴△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略.在△ABC和中，∵BC==a，AC==b，AB==c，ABC△BCACAB∴△ABC≌ABC.△∴∠C=∠=90°.C结论如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：，那么这个三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：222abc上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.例3判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=100.∴这个三角形是直角三角形.解（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.例4如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102，解即AD2+BD2=AB2，∴△ADB为直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，DC.2217815∴图1-21练习1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.41答：（1）是；（2）不是；（3）是.2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证：△AEF是直角三角形.14证明：由已知可得DF=CF=2，EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，有AE2=AF2+EF2，所以△AEF是直角三角形.中考试题例如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）.A.10°B.20°C.30°D.40°B因为6x90，所以x15.又6x180，所以x30.故应选择B.解此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求出x值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.分析结束