路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版•选修2-2成才之路·数学导数及其应用第一章1.2导数的运算第2课时导数公式表及数学软件的应用第一章课前自主导学1课堂互动探究2学法归纳总结3课后强化作业4课前自主导学高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,就是求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,ΔyΔt所趋近的那个定值.运算比较复杂,而且有的函数,如y=sinx,y=lnx等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?1.知识与技能能根据基本初等函数的求导公式,求简单函数的导数.2.过程与方法通过本节的学习掌握导数公式求导数的方法.3.情感态度与价值观通过使用数学软件求导数的过程,体会算法思维,进一步感受数学的应用价值.本节重点:应用导数公式表求导数.本节难点:导数公式的应用.基本初等函数的导数公式:(1)若f(x)=sinx,则f′(x)=_______;(2)若f(x)=cosx,则f′(x)=__________;(3)若f(x)=ax,则f′(x)=__________(a>0);(4)若f(x)=ex,则f′(x)=______;(5)若f(x)=logax,则f′(x)=________(a>0,且a≠1);(6)若f(x)=lnx,则f′(x)=____.cosx-sinxaxlnaex1xlna1x课堂互动探究导数的运算求下列函数的导数.(1)y=ex;(2)y=10x;(3)y=lgx;(4)y=log12x;[分析]利用基本初等函数的导数公式求解.(5)y=4x3;(6)y=sinx2+cosx22-1.[解析](1)y′=(ex)′=ex.(2)y′=(10x)′=10xln10.(3)y′=(lgx)′=1xln10.(4)y′=(log12x)′=1xln12=-1xln2.(5)y′=(4x3)′=(x34)′=34x-14=344x.(6)∵y=sinx2+cosx22-1=sin2x2+2sinx2cosx2+cos2x2-1=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.[说明]熟记基本初等函数的求导公式,是计算导数的关键.特别注意各求导公式的结构特征,弄清(ex)′与(ax)′,(lnx)′与(logax)′的差异,防止混淆.对于不具备基本初等函数特征的函数,应先变形,后求导.求下列函数的导数:(1)y=1ex;(2)y=110x;(3)y=lg5;(4)y=3lg3x;(5)y=2cos2x2-1.[解析](1)y′=1ex′=1exln1e=-1ex=-e-x.(2)y′=110x′=110xln110=-ln1010x=-10-xln10.(3)∵y=lg5是常数函数,∴y′=(lg5)′=0.(4)∵y=3lg3x=lgx,∴y′=(lgx)′=1xln10.(5)∵y=2cos2x2-1=cosx,∴y′=(cosx)′=-sinx.求函数在某点处的导数(1)求函数y=ax在点P(3,f(3))处的导数;(2)求函数y=lnx在点P(5,ln5)处的导数.[分析]已知函数的解析式,求函数在某定点处的导数,可先求出函数的导函数,再求导函数在相应点的函数值.[说明]求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是:①先求函数的导函数;②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.[解析]∵y=ax,∴y′=(ax)′=ax·lna,则y′|x=3=a3·lna.(2)∵y=lnx,∴y′=(lnx)′=1x,则y′|x=5=15.(1)求y=logax在x=2处的导数;(2)求y=cosx在π4,22处的导数.[解析](1)∵y=logax,∴y′=(logax)′=1x·lna.则f′(2)=12lna.(2)∵y=cosx,∴y′=(cosx)′=-sinx.则f′π4=-sinπ4=-22.求函数在某点处的切线方程求过曲线y=sinx上的点Pπ4,22且与在这点处的切线垂直的直线方程.[解析]∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.∴经过这点的切线的斜率为22,从而可知适合题意的直线的斜率为-2.∴y′|=cosπ4=22.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y-22=-2(x-π4),即2x+y-22-24π=0.[说明]在确定与切线垂直的直线方程时,应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零,当y′=0时,切线平行于x轴,过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.求曲线y=cosx在点A(π6,32)处的切线方程.[解析]∵y=cosx,∴y′=-sinx.y′|=-sinπ6=-12,∴k=-12.∴在点A处的切线方程为y-32=-12(x-π6).即6x+12y-63-π=0.下列各式中正确的是()A.(sinα)′=cosα(α是常数)B.(cosx)′=sinxC.(sinx)′=cosxD.(x-5)′=-15x-6[错解]A[辨析]当α为常数时,sinα也是常数.所以(sinα)′=0.[正解]C学法归纳总结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归,才能抓住问题的本质,把解题思路放开.2.将xa的求导公式与ax的求导公式对比记忆,两公式最易混淆;将ax的求导公式与logax的求导公式强化记忆,此两公式最难记;将sinx的求导公式与cosx的求导公式对比记忆,注意正负号.