高等数学在经济学中的应用

本科学生毕业论文（设计）题目高等数学在经济学中的应用学院数学计算机科学学院专业数学与应用数学学生姓名郭庆友学号0807034指导教师朱春荣职称副教授论文字数7584完成日期2102年04月20日I目录1引言·····························································12微分在经济学中的应用·················································22.1边际分析····························································22.2最优化问题·························································42.3弹性分析···························································63积分在数学中的应用····················································114函数在生产中的应用··················································125概率论在经济学中的应用···············································146总结·····························································147参考文献·····························································158致谢·····························································161高等数学在经济学中的应用郭庆友,数学计算机科学学院摘要：高等数学在经济学发展中具有重要的作用。本文主要阐述了高等数学，包括微分、积分、函数和概率论在经济学中的应用，并总结了高等数学在经济学研究中的意义。关键字：高等数学；经济学；微分；积分；函数；概率论ApplicationofAdvancedMathematicsinEconomicsGuoqingYou,CollegeofMathematicsandComputerScienceAbstract:Advancedmathmaticsplaysanimportantroleinthedevelopmentofeconomics.Thispaperdiscussestheapplicationofadvancedmathematicsineconomics,includingdifferntiation,integration,functionandprobabilitytheory,andsumsupthesignificanceofadvancedmathematicsappliedintheresearchofeconomics.Keywords:advancedmathematical;economics;differentiation;integration;function;probabilitytheory1引言经济学在古代就有先人开始研究，他们就懂得经营之道，在古代苏格兰经济学家亚当.斯密写过《国富论》，是一部经典的经济学著作，自此人们越来越注意经济学在国家的富强和发展中的作用，经济学的研究方法也受到人们的关注，从逻辑上的文字分析，不满足一些精细的严密的理论分析，数学和经济学的结合，是的经济学的发展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学带研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。19世纪30年现代数学方法开始在经济学中被大量运用，法国的经济学家古诺就是十分重要的奠基者和开拓者。他设立了诺贝尔经济学奖，推动了经济数学化。当中很多获奖者都是数学家兼经济学家，他们运用数学方法，将数学与经济学巧妙地结合起来，由此提高了经济学理论的科学性，使人们更加了解经济学中的规律性以及其潜在中存在的巨大风险。2高等数学作为初等数学的延伸，主要研究变动的量，文献]1[中主要介绍了包括微积分学、概率论与数理统计、以及深入的代数学和几何学等。高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，在各个领域都有广泛的应用。在文献[2-4]和文献[5]中都介绍到了数学在经济学中的应用，本文将具体地阐述高等数学在经济学中的应用，包括微分、积分、函数，以及概率论在经济学中的应用。2微分在经济学中的应用在阐述微分在经济学中的应用之前，先介绍有关微分的一些基本概念和定理。[1]定义1设函数)(xfy在)(0xU有定义，在0x自变量x的改变量x，相应函数的该变量限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，称函数)(xf在0x可导（或存在导数），此极限称为函数)(xf在0x的导数（或微商），表为)(0xf或0xxdxdy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000或0xxdxdyxxfxxfx)()(lim000.若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000不存在，称函数)(xf在0x不可导。若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000与xxfxxfxyxx)()(limlim0000都存在，则分别称为函数()fx在0x右可导和左可导，其极限分别称为函数()fx在0x的右导数和左导数，分别表为)()(00xfxf与，即)(0xf=xxfxxfx)()(lim00000)()(lim0xxxfxfxx，)(0xf=xxfxxfx)()(lim000=00)()(lim0xxxfxfxx.定理1假设函数)(xf在0x处可导，且在0x处取得极值，那么0)(0xf.定义2设函数),(yxfz，Dyx),(。若Dyx),(00，且),(0yxf在0x的某一邻域内有定义，则当极限xyxfyxxfxyxfxxx),(),(lim),(lim00000000存在时，称这个极限为函数f在点),(00yx关于x的偏导数，记做3),(00yxfx或00,yxxf.定理2若函数f在点),(000yxP存在偏导数，且在),(000yxP取得极值，则有0),(00yxfx,0),(00yxfy.微分在经济学中，主要应用在边际分析、最优化问题、弹性问题、生产优化和风险不确定性问题等等中。2.1微分在边际分析中的应用在经济学中,常常会用到变化率这一基本概念,作为变化率又可分为平均变化率和边际量。平均变化率就是函数增量与自变量量之比,如常用到的劳动的平均产量、平均利润、平均成本;边际量是表示一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化量。从数学意义上讲,如果函数是连读的,则边际量表示当自变量的改变量趋于零。此时,因变量的相应改变量与其的比值,表示为dxxdxxx)()(lim0因变量因变量,亦即函数对自变量的导数)()()(lim0xfxxfxxfx.在边际量的研究中，主要包括边际成本和边际收入的分析。2.1.1边际成本在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。设某产品的成本函数为()CCq,q为产量。根据定义，边际成本为(1)()CqCqC,由微分的定义，当q变化很小的时候，q=dq，()()'()CqdCqCq。'()Cq为边际成本函数。可见，边际成本约等于成本函数的变化率，通过函数的一阶导数来衡量边际成本的函数值。其几何意义为：在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率，即总成本函数在该产量处的导数值。在经营管理中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。例1某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式为23()10040.20.01CCqqqq，4求生产水平为20q（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？解当20q时的总成本为20q(万元)，23(20)1004200.2200.0120180C,平均成本为(20)18020920C元/件,边际成本为'()40.4200.01320^28Cq元/件.因此在生产水平为20万件时，每增加一个产品，总成本增加8元，比当前的平均成本9元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。2.1.2边际收入与边际成本类似，边际收入定义为'()Rq，即边际收入是总收入函数()Rq关于销售量q的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即1q）所增加的总收入()Rq。所以边际收入约等于收入函数的变化率。其几何意义为：每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率，即总收益曲线关于该销售量的导数值。2.2最优化问题2.2.1收益最大化与利润最大化问题总收益TR是产量Q与价格P的乘积,即QPTR,总利润为总收益TR与总成本TC的差值,即=TR-TC。若价格P随Q的变化而改变,则Q最大时总收益TR和总利润不一定取到最大值,并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润,下面,运用导数对收益进行优化分析。例3设垄断厂商的需求函数为QP4.012,总成本函数546.02QQTC,求(1)Q为多少时使总收益最大,与此相应的价格,总收益及总利润各为多少?(2)Q为多少时总利润最大,价格,总收益及总利润为多少?5解(1)已知厂商的产品的需求函数为QP4.012。总收益最大,即要求24.012QQQPTR最大。解08.012QdQdTR，得15Q。故Q=15时，TR最大。把Q=15代入QP4.012，得64.012QP。此时，总收益90QPTR，总利润110TCTR.(2)已知24.012QQTR，546.02QQTC，582QQTCTR.总利润最大时，082QdQd，即4Q。把4Q代入QP4.012，得4.10P，总收益6.4144.10QPTR，总利润11TCTR.例4已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两种商品的价格分别为201P元和202P元，该消费者的效用函数为2213XXU,该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得效用最大，其值是多少？解假设这两种商品的消费量分别为21XX、，由消费者的消费收入可以得到1122PXPXI，即540302021QQ是约束函数，求2213XXU得最大值。求此类含有约束的最值问题，可以用拉格朗日函数法对其进行求解，而且方便易懂。构造拉格朗日函数2212121212(,,)33(2030540)LXXXXIXXXX,对其各个变量求一阶偏导数0203221XXL,0306212XXXL,0)5403020(21XXL.解，得6.2112,921，XX.由于最值的存在性，得知此时12(,,)LXX取得最大值，也即2213XXU取得最大值U=3888.在此处有一个非常重要的经济学意义，为货币的边际效用。62.2.2费用的节省节省费用是经济生活中觉的问题,无论是生产者,还是销售者,总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的收益。应用导数的知识,可以使我们能够在条件允许的范围内做到费用最省。例5某商店每年销售某种a件,每次购进的手续费为b元,而每件的库存费为c