搜索
数学物理基础梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令(7)则从而将上面三式相加结果也为零。所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。V.旋度的旋度：旋度的旋度将是本文的重点。若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：(8)(9)(10)(11)对(9)式两端取旋度(12)再将(8)式代入(12)式有(13)看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。即有：(14)这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：(15)为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。还是做(7)式那样的处理，即令则于是(16)而令(17)两式相减有(18)类似地有由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成(19)这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。VI.几个矢量恒等式：前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。①②这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。但是对于▽算子，则一般但是一般有实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展上两式相减有记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。③这个等式相对容易证明，但前提是要在直角坐标下。电磁波与趋肤效应I.波动方程上一篇文章里提到了一维波动方程，也根据麦克斯韦方程推得了电磁场的三维波动方程，揭示了电磁波的存在。(1)而傅里叶级数告诉我们：复杂的振动可以看作是简谐振动之和。因此研究电磁波的简谐运动具有代表性，但这里要把振动和波结合到一起，即为简谐波的波动方程。上式括号中的加减号分别表示波沿x轴的负方向和正方向传播，利用欧拉公式可以把上式写成复数形式，λ是波长，A是振幅，为一常数，φ是初相。当然写成复数形式后两者不再相等，但是可以认为是等价的。即(2)令x=0时，上式就是某个质点振动的函数；令t=0时，上式是波在空间各点的振动情况。显然式(2)是式(1)的一个解。把(2)式代入(1)式有于是可知a=1/v，而上文讲过，时变电磁场在无源空间，即ρ=0，J=0处满足三维波动方程，即(3)(4)于是可以知道便是电磁波传播的速度。真空中的介电常数和磁导率分别近似为ε0=1/36π×10-9F/m，μ0=4π×10-7H/m，所以真空中的光速为事实上只要比较式(1)两端的单位，或者(3)式、(4)式的单位就可见端倪。例如(3)式，电场的单位为V/m，关于位移求两次偏微商后▽2E的单位是V/m3，关于时间求两次偏微商后∂2H/∂t2的单位是V/m·s2，为了使等式成立，με具有s2/m2的单位。在各种介质中，με往往不是与位置无关的常数，所以约定下面的讨论均假定介质为各向同性、均匀、线性的理想介质。满足式(3)和式(4)的波振的表达式为(5)(6)上两式假设了初相为0，不影响讨论的一般性，得到复数形式的麦克斯韦方程。(7)(8)学习电磁场和电磁波课程时，结合已学过的电路分析的知识来理解麦克斯韦方程很有好处。但是对于(8)式，中间的那个形式很多初学者可能会认为电流相加类似于RC并联，那么串联呢？实际上跟串并联没有关系，(8)式的右端告诉我们实际上是实数与虚数相加（位移电流比传导电流相位超前90度，当然这不意味着位移电流和传导电流空间上正交，注意区分）。也正是由于(8)式右端是一个既非纯实数也非纯虚数的复数，导致了良导体的趋肤效应。在无源空间中，即ρ=0，J=0。对(7)式和(8)式两端取旋度得整理上两式后得(9)(10)这两式称为电磁场的亥姆霍兹方程。这两个方程现在只与空间有关，而与时间无关。三维波动的数学形式是很复杂的，为了简化分析我们来讨论所谓的均匀平面波，均匀平面波也是一种理想化模型。II.平面波均匀平面波是这样的波：①电场和磁场只有沿x轴和y轴方向的分量，没有沿z轴方向的分量；②任意时刻坡印廷矢量S=E×H指向z轴正方向的，即电磁波向z轴正方向传播，为入射波。反之为反射波；③任意作一个垂直于z轴的截平面，截平面上处处电场强度相等，磁场强度相等。由第一条以及divD=0和divH=0的条件，得根据第三个条件知，平面波在无源空间中注意前面对标量（z方向上的分量）求微商，后面是对矢量求微商。这样的电磁波称为电磁波（TEM波）。这样就得到以下四个亥姆霍兹方程：(11)(12)(13)(14)假设平面波是线极化波（极化波的概念以后在讲），那么就是一维的波动，调整坐标后使电场只有x轴方向上的分量，即Ey=0，E=iEx（这里小写黑体的i表示x轴方向上的单位向量，j和k也类似，注意和虚数单位j区分）。式(11)的特征方程为：解得微分方程有解(15)这里其中ϕi为初相，Eim为电场的振幅。这里可以看到电场的振幅是恒定的，即没有衰减。上式等号右边的第一项是沿+z方向传播的讨论下k的物理意义，前面说过sqrt(με)为波速的倒数1/v。角频率ω=2π/T，周期T乘以波速v即为波长，所以k称为波数，即2π长度的距离包含了几个波长。再根据麦克斯韦方程，有(16)上式表面磁场只有沿y轴方向的分量，将式(15)代入式(16)得(17)上式中具有欧姆的量纲，而与介质有关，故称为特征阻抗。关于特征阻抗将另作讨论，此处不深入。作一下单位分析，根号内的单位是亨利（Henry）除以法拉（Faraday），不就类似于电路分析中的感抗乘以容抗么？因此可以作结论在理想均匀各项同性无源空间中，平面电磁波的电场和磁场相互垂直。电场和磁场同相位。III.趋肤效应前面的讨论都假定电磁波在无源均匀介质中传播，无源介质中电导率为0。但在导体中电导率σ不等于0，且在良导体中是一个比较大的值。这样一来，麦克斯韦方程式(7)和式(8)就不再完美地对称，式(8)就改为：上式往往写成(18)其中εc称为复介电常数。对上式两端取散度得所以电荷密度仍为零。若是电导率较小的导体，则复介电常数的虚部可以忽略不计；对于良导体，则对于一维的情况同样得到式(15)的解，但此时k是一个复数，对于良导体常常令γ=jk=α+jβ，γ称为传播常数，α称为衰减常数，β称为相位常数。式(15)改写为出现了e的实指数，且与z有关，这就意味着波的振幅会衰减或增大。显然上式最右端第一项为入射波，且振幅沿着+z方向衰减，第二项为反射波，振幅沿-z方向衰减。也就是说α和β为正实数，显然能量不会凭空产生。这意味着电磁波在良导体中会迅速衰减，这就是所谓的趋肤效应。所以其中虽然α和β是如此复杂，但是可以看衰减会随着频率的增大而增大。而α的单位为Np/m（奈培每米），β的单位是rad/m（弧度每米）。另外特征阻抗也成了一个复数，即从而电场和磁场之间有了相位差。读到这里读者或许会问既然电磁场在导体中会指数衰减为什么还用导线来传递信号？比如同轴线。实际上同轴线是起波导的作用，导线几乎不传递能量，传递能量的是同轴线两线之间的空间。另外同轴线内线电场是纵波，当然径向上是横波，所以电流是贴着同轴线内线的表面流动的。这个以后再深入探讨。