高等数学基础

1/16高等数学基础第一节函数极限的定义及分析方法一．函数极限的定义定义1：当自变量x无限趋近于0x（0xx）时，如果函数)(xfy无限趋近于一个常数A，就说当x趋向0x时，函数)(xfy的极限是A，记作Axfxx)(lim0。特别地，CCxx0lim；00limxxxx。例题1：判断下列函数的极限：（1）xxx0lim（2）11lim21xxx（3）121lim220xxxx定义2：当自变量x取正值且无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于正无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim。也可以记作，当x时，Axf)(。当自变量x取负值而x无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于负无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim。也可以记作，当x时，Axf)(。当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数)(xfy的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于无穷大时，函数)(xfy的极限是A，记作：Axfx)(lim。也可以记作，当x时，Axf)(特例：对于函数Cxf)(（C是常数），当自变量x的绝对值无限增大时，函数Cxf)(的值保持不变，所以当x趋向于无穷大时，函数Cxf)(的极限就是C，即CCxlim。例题2：判断下列函数的极限：（1）xx)21(lim（2）xx10lim（3）21limxx（4）4limx（5）)1lim(x（6）xx2.1lim（7）41limxx（8）11lim2xx二．无穷小与无穷大定义1：如果函数𝒇(𝒙)当𝒙→𝒙𝟎(或𝒙→∞)时的极限为零，那么称函数𝒇(𝒙)为当𝒙→𝒙𝟎(或𝒙→∞)时的无穷小。当0x时，xxsin2，等都是无穷小。当x时，)1(1,1aaxx等都是无穷小。定义2：如果当𝒙→𝒙𝟎(或𝒙→∞)时，对应的函数值的绝对值|𝒇(𝒙)|无限增大，就称函数𝒇(𝒙)为2/16当𝒙→𝒙𝟎(或𝒙→∞)时的无穷大。当x时，)1(,2aaxx等都是正无穷大；当0x时，xxcot,1是正无穷大等.定理1：在自变量的同一变化过程中，如果𝑓(𝑥)为无穷大，则1𝑓(𝑥)为无穷小；反之，如果𝑓(𝑥)为无穷小，且𝑓(𝑥)≠0，则1𝑓(𝑥)为无穷大。三．极限运算法则定理1：有限个无穷小的和也是无穷小。定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。定理3：对于函数极限有如下的运算法则：如果BxgAxfooxxxx)(lim,)(lim，那么BAxgxfoxx)]()([limBAxgxfoxx)]()([lim)0()()(limBBAxgxfoxx也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。当C是常数，n是正整数时：)(lim)]([limxfCxCfooxxxxnxxnxxxfxfoo)](lim[)]([lim这些法则对于x的情况仍然适用.例题3：分析下列函数的极限：例1．求)3(lim22xxx例2．求112lim231xxxx例3．求416lim24xxx分析：当4x时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数y=x2-16x-4在定义域4x内，可以将分子、分母约去公因式4x后变成4x，由此即可求出函数的极限。例4．求133lim22xxxx分析：当x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以2x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。例5．求1342lim232xxxxx分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以3x，就可以运用法则计算了。3/16例6．)32(lim21xx；例7．)132(lim22xxx例8．)]3)(12[(lim4xxx；例9．14312lim221xxxx例10．11lim21xxx例11．965lim223xxxx例12．13322lim232xxxxx第二节函数的导数一．引论——两个典型背景示例例一：运动物体的瞬时速度设质点沿x轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为xxt()，求在时刻0t的瞬时速度。解：(1)求时段0t到0t＋t的平均速度：)(0ttv，xttxtt()()00(2)平均速度的极限是瞬时速度.即：因此，如果极限：)(0tvtxttxtt000lim()()存在，这个极限值就是质点在时刻0t的瞬时速度。例二：曲线的切线斜率：设曲线L由方程yfxaxb()()确定.0xab(,)。要求L在点),(00yxM))((00xfy其中的切线斜率。（1）求区间0x到xx0的弦的斜率:),(0xxk=00)()(xxxfxf;（2）弦斜率的极限是切线的斜率:)(0xk=00)()(lim0xxxfxfxx=xxfx)(lim00；（3）曲线L：)(xfy在点),(00yxM的切线：斜率等于)(0xk，切线T的方程称为：))(()(000xxxkxfyyy=f(x)y0=f(x0)x0x4/16二．导数的定义定义1：假设函数)(xfy在点x0某邻域有定义，如果极限xxfxxfx)()(lim000=xxfx)(lim00存在，则称其值为函数f在点x0的导数,并说f在x0可导。f在点x0的导数记作)(0xf或0)(xxdxxdf或)(0xy或0xxdxdy函数f在点x0的导数，就是在点x0函数关于自变量的变化率。运动质点在时刻0t的瞬时速度是距离x)(t对时间t的导数。曲线)(xfy在点x0切线斜率是函数f对x的导数。三．课堂练习：例1．常数函数fxc()的导数。解：由导数定义(注意到0x)得到00limlim)()(lim000xxxxccxxfxxf所以0c.例2．sinx和cosx的导数：解：xxxxxxsin)sin(lim)(sin0=xxxxx)2cos(2sin2lim0=xxxxxxxcos)2cos(lim2sin2lim00同样的方法可以得到xxsin)(cos.(注意几何意义)三．函数的求导法则:定理1：若函数f、g在点x都可导，则：1．对于任意常数c，函数cf在点x可导，并且)())((xfcxcf.2．函数)()(xgxf在点x可导，并且)()())()((xgxfxgxf3．函数)()(xgxf在点x可导，并且)()()()())()((xgxfxgxfxgxf.4．如果0)(xg，则)()(xgxf在点x可导，并且)()()()()()()(2xgxfxgxgxfxgxf.示例1：𝑓(𝑥)=2𝑥3−5𝑥2+3𝑥−7，求f`(x)及f`(3)解：f`(x)=6𝑥2−10𝑥+3f`(3)=47示例2：求xtan、xcot、xsec、xcsc的导数5/16解：.seccos1coscossicossin)(coscos)(sin)cossin()(tan222222xxxxxnxxxxxxxx同样可以得到：.csc1)(cot2xxxxxxxxsectancossin)cos1()(sec2.xxxxxxcsccotsincos)sin1()(csc2.定理2：复合函数的导数：如果)(xgu在点x可导，而)(xfy在点)(xgu可导，则复合函数)]([xgfy在点x可导，则其导数为：𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑓`(𝑢)∙𝑔`(𝑥)或𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑢∙𝑑𝑢𝑑𝑥示例4：𝒚=𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟐，求𝒅𝒚𝒅𝒙。解：𝒅𝒚𝒅𝒙=𝟐（𝟏−𝒙𝟐）（𝟏+𝒙𝟐）𝟐∙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟐四．基本导数公式1．0)(c(c为常数)2．)0(,)(1xxx3．xxee)(；4．xx1)(ln5．xxcos)(sin6．xxsin)(cos7．xx2sec)(tan8．xx2csc)(cot9．xxxsectan)(sec10．xxxcsccot)(csc11．211)(arcsinxx12．211)(arccosxx13．211)(arctanxx14．211)cotarc(xx15．()`=16．()`=−五．课堂练习：例1．设yxxexxsincos，计算yx'()．解：.sincoscossin)(coscos)()(sinsin)cossin()(xexexxxxexexxxxxexxxyxxxxx例2．设2)(xay,计算yx'()．6/16解：222xaxay=)(222xaxa．若20)(xay,怎么办？五．高阶导数对变速直线运动而言，其速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：𝑣=𝑑𝑠𝑑𝑡或𝑣=𝑠`同时，加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：𝑎=𝑑𝑣𝑑𝑡=𝑑𝑑𝑡(𝑑𝑠𝑑𝑡)或𝑎=(𝑠`)`这种导数的导数𝑑𝑑𝑡(𝑑𝑠𝑑𝑡)或(𝑠`)`叫做s对t的二阶导数，记作：𝑑2𝑠𝑑𝑡2或𝑠``()一般的，函数y=f(x)的导数y`=f`(x)仍然是x的函数，我们把y`=f`(x)的导数叫做y=f(x)的二阶导数，记作y``或𝑑2𝑦𝑑𝑥2。相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。示例：例4．𝑦=𝑎𝑥+𝑏，求𝑦``解：𝑦`=𝑎，y``=0。例5．𝑠=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡，求𝑠``解：𝑠`=𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡，𝑠``=−𝜔2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡例6．𝑦=√2𝑥−𝑥2，求𝑦``解：𝑦`=122−2𝑥√2𝑥−𝑥2=1−𝑥√2𝑥−𝑥2𝑦``=−(2𝑥−𝑥2)12−(1−𝑥)(2𝑥−𝑥2)−322𝑥−𝑥2𝑦``=−(2𝑥−𝑥2)12−(1−𝑥)2−2𝑥2(2𝑥−𝑥2)12（2𝑥−𝑥2）𝑦``=(−2𝑥+𝑥2)−(1−𝑥)2（2𝑥−𝑥2）(2𝑥−𝑥2)12=1（2𝑥−𝑥2）327/16s=s(x)tt0tt0第三节函数的微分一．引论设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为)(tss，求在0t到tt0(0t)时间内质点的位移。Δ𝑠Δ𝑡=𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0𝑠(𝑡0)−𝑠(𝑡0+∆𝑡)∆𝑡=𝜂∆𝑠=𝜂∆𝑡上述情况下，称函数)(tss在点t0可微，并称𝜂𝑑𝑡为函数)(tss在点t0处的微分。导数是从函数对自变量变化的快慢来研究；而微分则是直接研究函数的增量。二．函数微分的定义定义1：设)(xfy在点0x的增量可表示成：y=xxAxfxxf000)()(则称函数)(xf在点0x可微。线性函数xxA0称为函数)(xf在点0x的微分。记作：dy。通常把自变量x的增量∆𝑥称为自变量的微分，记作dx。即：)(0xdf=dxxA0，或者0dxy=dxxA0𝑑𝑦=