高等数学基础例题讲解

第1章函数的极限与连续例1．求0limxxx．解：当0x时，000limlimlim11xxxxxxx，当0x时，000limlimlim(1)1xxxxxxx，由极限定义可知，xxx0lim不存在（如图）．例2．求xmxxsinlim0（m是非零常数）．解：令umx，显然当0x时0u，于是muummxmxmxmxuxxsinlimsinlimsinlim000．例3．求xxx)21(lim．解：令2xt，当x时，有t，原式22222])11(lim[])11[(lim)21(limettxttttxx例4．求xxxx11lim20．解：2220011limlim(11)xxxxxxxxxx2011lim211xxxx例5．求xaxx1lim0．解：令tax1，则log(1)axt，0x时0t，于是0001limlimlimlnlog(1)lnxxttaattatxta第2章一元函数微分及其应用例1．讨论函数32)(xxf在0x处的可导性与连续性．解：32)(xxf为初等函数，在其定义域),(上连续，所以在0x处连续．又0(0)(0)(0)limhfhffh3020limhhh32012limhh)0(f不存在．所以函数32)(xxf在0x处连续，但不可导．事实上，曲线32)(xxf在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x轴的切线0x（如图）．例2．求xysin的各阶导数．解：)2sin(cosxxy，)22sin(]2)2sin[()2cos(xxxy，)23sin(]2)22sin[()22cos(xxxy，…….)2sin()(nxyn，所以：()(sin)sin()2nxxn．例3．求452(3)(1)xxyx的导数．解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算．此函数的定义域为[2,1)(1,)当1x时，0y，函数式两边取对数得：1lnln(2)4ln(3)5ln(1)2yxxx因此上式两边对x求导，得1153142121xxxyy整理后得，]1534)2(21[)1()3(254xxxxxxy当21x时可得同样结论．例4．11ln1lim1xxx．解：这是“”型，通分即可化为“00”型．11111111lnlimlimlim1ln1(1)lnlnxxxxxxxxxxxxx11111limlimln1ln112xxxxxxx．例5．求内接于半径为R的球内的圆柱体的最大体积．解：设圆柱的底半径为r，高为h则体积2vrh，而222()2hrR2223()(/4)(/4)vhhRhRhh（02hR），故转化为求函数()vh的最大值．问题223()()04vhRh得驻点23hR（负值不合题意舍由去）．根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点0h，2hR处取得，故只在唯一驻点23hR处取得．即当23hR，63rR时圆柱体的体积最大，最大体积3max439vR．第3章一元函数的积分学例1．dxax221（0a）．解：当ax时，设taxsec(02t)，tdttadxtansec代入有：原式221sectan(sec)attdtatasecln(sectan)tdtttC．为将变量t还原为x，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有axtsec，222tansec1xatta从而：22221ln()dxxxaCxa．当ax时，令ux，则au，由上，我们有：222211dxduxaua222211ln()ln()uuaCxxaC22ln()xxaC．综合以上结论得，22221lndxxxaCxa．例2．求dxxxxcossin1sin．解：2tansin221sincos(1)(1)xtxtdxdtxxttctttdttttarctan|1|ln21|1|ln)1111(22ln|sincos|222xxxc．例3．讨论积分11pdxx的收敛性．解：当1p时，111lndxxx，发散；当1p时，1111limbppbdxdxxx11111limlim(1)11bppbbxbpp；当1p时，有0lim1pbb，所以1111pdxxp，广义积分收敛；当1p时，有pbb1lim，从而11pdxx是发散的．例4．求曲线02xy和2xy围成的图形的面积．解：由202yxxy得交点(1,1)，(4,2)选x为积分变量，把面积分成两部分10419((2))22Axxdxxdx．另解：选y为积分变量，积分区间[1,2]，222211((2))(2)Ayydyyydy3221119(2)322yyy．显然选y为积分变量计算较简单．例5．计算曲线arctanxt，21ln(1)2yt从0t到1t的弧长．解：11222222001(())(())()()11tsxtytdtdttt14402001tansecln|sectan|1tudtuduuutln(12)．第4章常微分方程例1．求齐次方程yxyxdxdy的通解．图3-14解：原方程变形为xyxydxdy11，设uxy，则dxduxudxdy，代入方程yxyxdxdy有：uudxduxu11uudxdux112，分离变量积分有：dxxduuu111212||ln)1ln(21arctancxuu，即：cueuxarctan222)1(222arctanucxye（这里12cc），所以，原方程的通解为cxyeyxarctan222．例2．求解微分方程3)1(12xyxdxdy．解：对应齐次方程为：012yxdxdy，分离变量后积分，可得其通解为：2)1(xcy；设2)1)((xxcy，代入方程3)1(12xyxdxdy有：322)1()1)((12)1)((2)1)((xxxcxxxcxxc解得：1)(xxccxxc2)1(21)(，所以原方程的通解为：22)1]()1(21[xcxy．例3．求微分方程yxxdxdyxsin的通解．解法一：原方程化为：xyxdxdysin1，对应齐次方程为：yxdxdy10，分离变量积分得对应齐次方程的通解为：xcy；设xxcy)(，代入方程xyxdxdysin1有：2()()11()sincxxcxcxxxxx解得：)sin()(xxxccxxxxcsincos)(，所以原方程的通解为：xcxxxysincos．解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：dxxdxxdxxPdxxPecdxxeecdxexQy11)()()sin())((1(cossin)xxxcx例4．求xyxe的通解．解：连续积分三次得：1xxxxxxyxedxxdexeedxxeec，11[(1)](1)xxyxecdxxdecdx1(1)xxxeedxcx12(2)xxecxc，322121)3(cxcxcexyx．一般将通解写成：3221)3(cxcxcexyx．例5．求微分方程xyy的通解．解：这是一个不显含y的二阶微分方程，令()ypx，则()ypx，代入原方程得：xpp，这是一个可分离变量方程，分离变量：xdxpdp，积分得：cxp||ln||lnxepc1ycx（这里cec1），所以原方程的通解为：221121cxcxdxcy，一般写成：221cxcy．故原方程的通解为：12cxyce．第5章空间解析几何例1．设点(1,0,1)A，10AB，AB的方向角060，045，求：（1）的值；（2）点B的坐标．解：（1）由1coscoscos222有4145cos60cos1cos02022，所以01cos602或0120；（2）设),,(zyxB，有00110cos60010cos456110cosxyxz，52y，4z（或6），则B点的坐标为(6,52,4)或(6,52,6)．例2．证明三角形的三条高线交于一点.证明：如图，设ABC在边AC，BC上的高交于点P，且令PAa，PBb，PCc，有ABba，BCcb，CAac，再由PABC，PBCA有()0acb，()0bac，两式相加有0()00acbcabcBAPC，从而有ABPC，所以，ABC的三条高线交于一点.例3．平面过三个定点(,0,0)Pa，(0,,0)Qb，(0,0,)Rc（a，b，c均不为零），求该平面的方程．解：如图，设所求平面方程为：0DCzByAx，由所求平面过三点)0,0,(aP，)0,,0(bQ，),0,0(cR有：cDCbDBaDADCcDBbDAa000，代入所设平面方程得：0DzcDybDxaD1czbyax．例4．已知点)3,1,2(P和直线L：12131zyx，求过点)3,1,2(P并且与直线L垂直相交的直线方程．解法一：过点)3,1,2(P且与直线L：12131zyx垂直的平面方程为：0)3()1(2)2(3zyx，即0523zyx，再设直线L与此平面的交点为),,(zyxN，则将直线tztytx2131代入上面的平面方程得：0)3()121(2)221(3ttt解得73t，从而有交点)73,713,72(N，所以126246{,,}{2,1,4}7777NP．取所求直线的方向向量{2,1,4}s，则所求直线方程为431122zyx．解法二：设垂足为),,(0000zyxP，其在直线L上对应的参数为0t，则：0000002131tztytx，000033,2,3PPttt，由000PPsPPs0003(33)2(2)(1)(3)0ttt，解得037t，从而有垂足)73,713,72(0P，所以0126246{,,}{2,1,4}7777PP．取垂线的方向向量{2,1,4}s，则所求垂直相交的直线方程为431122zyx．从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：222021336||(2)(1)(3())217777PP例5．设圆柱面222Ryx上有一质点，它一方面绕z轴以等角速度旋转，另一方面同时以等速度0v平行于z轴的正方向移动，开始时（