高等数学多元函数极值2

的图形观察二元函数22yxexyz多元函数极值一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.处有极小值．在函数)0,0(4322yxz(1)处有极大值．在函数)0,0(22yxz(2)处无极值．在函数)0,0(xyz(3)2、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.证不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，问题：如何判定一个驻点是否为极值点？又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，但不是极值点.则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例1求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值解将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzACB,将)1,1(P代入原方程,将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）例2求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解如图,先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(fxyo6yx比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.例3求122yxyxz的最大值和最小值.解由,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,因为01lim22yxyxyx即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)下的极值在条件0),(yx其几何意义是),(0),(:00yxyxL上求一点在曲线),(),(00yxfyxf使),(),(00yxfyxf或其中点(x,y)在曲线L上假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内连续yx,且不同时为0f(x,y)可微0y不妨设0),(yx于是确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故0Pdxdz即0)(),(),(0000xyyxfyxfyx又由隐函数的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxP代入上式0),(),(),(),(000000yxyxyxfyxfxyyoox令),(),(0000yxyxfyy得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxxxyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.例4求内接于椭球1222222czbyax的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz022axyzFx022byxzFy022czxyFz1222222czbyax)1(222222czbyaxxyzF令23xyz解得3,3,3czbyax22axyz22byxz或两式相除222222byaxyaxbxy同理2222czax即222222czbyax代入解得3,3,3czbyax三式相加得解二任意固定z0(0z0c)先在所有高为2z0的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于x,y轴的长方形当长方形的边长分别为2202201222,1222czbcza（一元函数极值问题）02220222202111zzczbyczax长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为02200)1(4)(zczabzV)31(4)(2200czabzV30czV(z0)最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为)3,3,3(cba解三作变换czZbyYaxX,,问题变成在1222ZYX下求XYZ的最大值易知为立方体31ZYX3,3,3czbyax例5在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解设),,(000zyxP为椭球面上一点,解四即求222222czbyax的最大值而此三个正数的和一定（=1）当31222222czbyax积最大3,3,3czbyax令1),,(222222czbyaxzyxF,则202|axFPx，202|byFPy，202|czFPz过),,(000zyxP的切平面方程为)(020xxax)(020yyby0)(020zzcz,化简为1202020czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为02xax，02yby，02zcz,所围四面体的体积000222661zyxcbaxyzV,在条件1220220220czbyax下求V的最小值,令,lnlnln000zyxu),,(000zyxG000lnlnlnzyx)1(220220220czbyax,由,010,0,0220220220000cybyaxGGGzyx01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx即可得30ax30by，30cz当切点坐标为(3a，3b，3c)时,四面体的体积最小abcV23min.将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和最大使cbazyx其中a,b,c为给定的正数例6解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分cbazyxuDzyx),,(由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。令)(lnmzyxuF)(lnlnlnmzyxzcybxa则0xaFx0ybFy0zcFz与x+y+z=m联立解得cbacmzcbabmycbaamx,,cbacbacbacbamcbau)(max注若一元函数f(u)在区间I上严格单调增一般情形多元函数g(P)在区域D上有定义时且当DPIPg)(则f(u)与复合函数f[g(P)]有相同的极值点利用这一结论可将求f[g(P)]的驻点转化为f(u)的驻点或相反地将求f(u)的驻点转化为求f[g(P)]的驻点使问题简化——转移大法四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？思考题解答不是.例如22),(yxyxf,当0x时，2),0(yyf在)0,0(取极大值;当0y时，2)0,(xxf在)0,0(取极小值;但22),(yxyxf