高等数学定积分

定积分面积、路程的计算例1、计算pyx，OX轴和直线xb围成的图形的面积.处理方法首先把OX轴的闭区间0,b分成n等分，其中第k个等分是1,kkbbnn相应地把上述曲线图形分成n个等宽的条形1,0pkkbxbyxnn每一个条形的面积kS介于二个矩形条的面积之间1ppkkbkbbSbnnnn因此整个曲线图形的面积S应该介于以下的两个和数之间111ppnnkkkbkbbSbnnnn我们可以把矩形条面积之和11pnkkbbnn和1pnkkbbnn当做曲线图形面积S的近似值，所分的矩形条越细，这样的近似值的精确度就越高，事实上我们有1111ppnnppkkkbbbknnn＝111111pppppbncncnnp＝1111ppccbpnn＝111111111ppppnnppkkckbkbbcbnnnnnpnn当n无限增大的时候，上面的两个和数的极限相等皆为11pbp，这个共同的极限应该看作所求的面积S，这样我们求得111pSbp一般的情形，设函数yfx在闭区间,ab上有定义，且非负.曲线yfx与,,0xaxby围成一个图形，我们求图形的面积SI、首先用一串分点012naxxxxb把闭区间分成了n段（注意，此处并不是等分），相应的将曲线图形分成n个条形，其中第j个条形为1jjxxx，0yfxII、在闭区间1.jjxx上任取一点j，我们把高为jf，低长为1jjjxxx的矩形条的面积，当做曲线图形的第j个条形的面积的近似值.这样得到曲线图形面积的近似值1njjjfx例2、物理学的例子设物体做变速直线运动，其速度v是时间t的函数tfv我们来计算时刻a到时刻b经过的路程.为此，我们用一串分点bxxxan10将时间分成n个小段，在第j段时间中物体通过的路程可以认为近似等于jjtf这里j是jjtt,1中的一个时刻，1jjjttt，于是从时刻a到时刻b物体通过的路程近似等于njjjtf1当分割的时间的间隔越来越短的时候，上述合式的极限值就是物体从时刻a到时刻b的路程.一、定积分的定义与基本性质Riemann积分1、闭区间ba,的一个分割，在a，b之间插入有限个分点，我们用P来表示bxxxaPn10:这些分点将ba,分成n个闭区间，分别是nnxxxxxx,,,,,,12110第i个闭子区间的长度为1iiixxx2、分割P的模nxxxP,,,max||213、分割P的一组标志点：用一个字母表示一组点n,,,21其中iiixx,1,3,2,1i4、函数f的积分和Riemann：如果f在闭区间ba,上有定义，对于ba,的任意一个分割bxxxaPn10:和相应于这个分割的任意一组标志点，可以作和数niiixfPf1,,称为函数f在闭区间ba,上的积分和.5、无穷细分割序列：如果闭区间ba,的分割序列nP满足条件0||limnnP则称nP是一个无穷细分割序列.定义1：设函数f在闭区间ba,上有定义.如果存在实数I使得对于任意的无穷细分割序列nP，不论相应的每个分割nP的标志点组n怎么选择，都有IPfnnn,,lim那么我们就说函数f在闭区间ba,上可积，并的把I称为函数f在ba,上定积分，记为积分号；dxxf被积表达式；a积分上限，b积分下限.极限形式的定义：设函数f在闭区间ba,上有定义，RI.如果对于任意0，存在0，使得只要||P，不论相应的标志点组怎么选择，总有IPf,,IPfdxxfPba,,lim0||那么我们说f在区间ba,可积，并且把I叫做函数f在区间ba,上的积分，记为baPIPfdxxf,,lim0||.定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-------由连续曲线0)(xfy及直线0,,ybxax所围曲边梯形的面积。注：定积分badxxf)(的值只与被积函数)(xf及积分区间ba,有关，而与积分变量所用的符号无关。例1、常值函数Cxf在任何区间ba,上可积，并且baCCdxba事实上，对于任意分割P，和相应与这个分割的任意的标志点组，Cfi因此，niiniibaCxCxCPf11,,.注：niniiiiiniiiiPgPfxgxfxgfPgf111,,,,,,niniiiiiPfxfxfPf11,,,,因此，我们有性质1、bababadxxgdxxfdxxgxfbabadxxfdxxf引理设函数f在ba,上可积，则f在ba,上有界.证明我们利用反证法，首先由于f在ba,上可积，那么有IPfP,,lim0||则，我们可取1，那么存在0，使得只要||P，就有1,,IPf而IIIPfIIPfPf1,,,,,,取P为ba,上的一个分割，由于f是无界的那么必然有在某一个小区间jjxx,1上无界，我们可以再这个区间内取一点j，使得||1Ixfxfijiijj则有jiiijjniiixfxfxfPfI|||,,|||11||1I矛盾，因此f无界的假设是不能成立的.积分可加性定理设cba，如果函数f在ba,和cb,上都可积，那么它在ca,上可积，并且cbbacadxxfdxxfdxxf证明略.注1、相对于这个命题，f在ca,上可积，那么f在cbba,,上也可积.2、约定baabdxxfdxxfabba0积分单调性定理设ba，函数f和g在区间ba,上可积并且满足xgxf，bax,则有dxxgdxxfbaba积分中值定理设ba，函数f在ba,上可积，如果baxMxfm,,那么abMdxxfabmba特别的，如果f在ba,上连续，那么存在bac,，使得abcfdxxfba几何解释由连续曲线xfy与直线0,,ybxax所围成的图形的面积，等于以ba,为低，以cf为高的矩形的面积.二、牛顿-莱布尼兹公式定理设函数f在闭区间ba,连续，如果存在函数F，它在ba,上连续，在ba,可导，并且满足baxxfxF,,那么函数f在ba,上可积，并且aFbFdxxfba证明考察ba,的任意分割bxxxaPn10:根据Lagrange中值定理我们得到niiiniiiiniiiPfxfxxFxFxFaFbF11111,,)(由于函数f在ba,上的一致连续性对于任意的0，存在0，使得只要||,,,vubavu就有abvfuf||所以当||P时，对于相应与这个分割的任意标志点组，都有niiiniiixfxfPfPfaFbFPf11,,,,,,niniiiiiniiiiababxabxffxff111||因此函数f在区间ba,上可积，并且aFbFdxxfba我们引入记号aFbFxFba|LN公式可以写成babaxFdxxf|例1、baabbaxxeeedxe|例2、abxxdxbabalnln|ln例3、2|cossin00xxdx例4、求极限nnn212111lim例5、求极限22222221limnnnnnn例6、求极限121limppppnnLN公式的最大优点是将定积分的计算问题归结于求原函数—不定积分问题，又可以利用换元法和分部积分法.定义1、如果函数t在开区间,上的每一点都是可导的，并且导函数t在,上连续，那么我们就说函数在开区间,连续可微，或者说在,上是1C类函数.定义2、如果函数t在闭区间ba,上可导（端点单侧可导），并且导函数t在闭区间,上连续，我们就说函数在闭区间,上连续可微，或者说在,上是1C类函数，并约定用这样的记号来表示：,1C定积分的换元法设函数1C，且ba,，ba,,，如果函数f在ba,上连续，那么dtttfdxxfba还可写成tdtfdxxfba如果有CxFdxxf那么|tFtdtf定积分的分部积分公式设函数baCvu,,1，则bababadxxvxuxvxudxxvxu|还可写成bababaxduxvxvxuxdvxu|例7、求1021dxx解21x的原函数为212arcsin21xxx1010224|12arcsin211xxxdxx例8、0sinxdxx解用分部积分法的000cos|cossinxdxxxxdxx.三、微元法（略）