1988年考研数学试题详解及评分参考(数一,数二,数三通用)

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第1页1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（试卷一）一．（本题满分15分，每小题5分）(1)求幂级数1(3)3nnnxn¥=-×å的收敛域.解：因11(3)1(1)3limlim33,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn++®¥®¥-+×=-=--+×故当131,063xx-即时，幂级数收敛.……3分又0x=时，原级数成为交错级数11(1)nnn¥=-å，是收敛的.……4分6x=时，原级数成为调和级数11nn¥=å，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2)已知2()xfxe=,[()]1fxxj=-，且j(x)³0.求j(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1xexj=-，得()ln(1)xxj=-.……3分由ln(1)0x-³，得11x-³即0x£.……5分所以()ln(1)xxj=-，其定义域为(,0).-¥(3)设S为曲面1222=++zyx的外侧，计算曲面积分òò++=sdxdyzdxdxydydzxI333.解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()IxyzdvW=++òòò（其中W是由S所围成的区域）……2分21220003dsindrrdrppqjj=×òòò……4分125p=.……5分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第2页二、填空题：（本题满分12分，每小题3分）(1)若21()lim(1)txxfttx®¥=+，则()ft¢=.【答】应填2(21).tte+【解】由221()lim[(1)]xttxftttex®¥=+=，可得2()(21).tftte¢=+(2)设()fx是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01xfxxx-£ì=í£î，则)(xf的傅里叶级数在1=x处收敛于.【答】应填3.2【解】由狄利克雷收敛定理知，()fx的傅里叶级数在1=x处收敛于()()1010213.222ff-++-+==(3)设()fx是连续函数，且310()xftdtx-=ò，则(7)f=.【答】应填1.12【解】在等式310(),xftdtx-=ò两边同时对x求导，得33(1)(1)1fxx¢-×-=，令2x=，有12(7)1f=，于是1(7).12f=(4)设4´4矩阵A=),(4,3,2ggga，B=),(4,3,2gggb，其中4,32,,,gggba均为4维列向量，且已知行列式,1,4==BA则行列式BA+=.【答】应填40.【解】因2,3,4,222,ABabgggéù+=+ëû故()2,3,42,3,42,3,42,3,4,2228,8,,40.ABabgggabgggagggbggg+=+=+=+=三、选择题：（本题满分15分，每小题3分）(1)若函数()yfx=有21)(0=¢xf，则当0®Dx时，该函0xx=处的微分dy是(A)与xD等价的无穷小(B)与xD同阶的无穷小(C)比xD低阶的无穷小(D)比xD高阶的无穷小【答】应选(B).郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第3页【解】由()01,2dyfxxx¢=D=D知01lim2xdyxD®=D，可见，当0xD®时，()fx在0x处的微分dy是与xD同阶的无穷小，故选(B).(2)设()yfx=是方程240yyy¢¢¢-+=的一个解，若()0fx，且0)(0=¢xf，则函数()fx在点0x(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少【答】应选(A).【解】将()yfx=代入方程240,yyy¢¢¢-+=有()2()4()0fxfxfx¢¢¢-+=，令0xx=，有0000()2()4()4()0fxfxfxfx¢¢¢=-=-，于是()fx在驻点0x处取得极大值，故选(A).(3)设有空间区域22221:Rzyx£++W,;0³z及22222:Rzyx£++W,,0,0,0³³³zyx则(A)124xdVxdVWW=òòòòòò(B)124ydVydVWW=òòòòòò(C)124zdVzdVWW=òòòòòò(D)124xyzdVxyzdVWW=òòòòòò【答】应选(C).【解】因1W关于yOz平面和zOx平面都对称，而z关于,xy均为偶函数，从而124zdVzdVWW=òòòòòò，故选(C).(4)若级数1(1)nnnax¥=-å在1x=-处收敛，则此级数在2x=处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定【答】应选（B）.【解】根据题设，当1112,x---=即13x-时，级数1(1)nnnax¥=-å绝对收敛，因此此级数在2x=处绝对收敛.(5)n维向量组12,,,(3)ssnaaa££L线性无关的充分必要条件是(A)有一组不全为0的数12,,,,skkkL使11220sskkkaaa+++¹L.(B)12,,,saaaL中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,saaaL中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,saaaL中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第4页【答】应选(D).【解】(A)、(B)、(C)三个选项均只是12,,,saaaL线性无关的必要条件，而非充分条件，因此正确选项为(D).选项(A)、(B)、(C)的反例如下：(A)：123(1,1),(0,0),(0,0)aaa===线性相关，但1231000aaa×+×+×¹；(B)：123(1,1),(1,0),(0,1)aaa===线性相关，但两两线性无关；(C)：123(1,1,1),(1,0,0),(2,0,0)aaa===线性相关，但1a不能由23,aa线性表示.四．（本题满分6分）设)()(xyxgyxyfu+=，其中,fg具有二阶连续导数，求222uuxyxxy¶¶+¶¶¶.解：()()().uxyyyfggxyxxx¶¢¢=+-¶……2分22231()().uxyyfgxyyxx¶¢¢¢¢=+¶……3分222()().uxxyyfgxyyyxx¶¢¢¢¢=--¶¶……5分所以2220uuxyxxy¶¶×+×=¶¶¶.……6分五、（本题满分8分）设函数()yyx=满足微分方程,223xeyyy=+¢-¢¢且图形在点(0)1，处的切线与曲线12+-=xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy=解：对应齐次方程的通解为212xxYCeCe=+.……2分设原方程的特解为*,xyAxe=……3分得2A=-.……4分故原方程通解为2212()2xxxyxCeCexe=+-.……5分又已知有公共切线得00|1,|1xxyy==¢==-，……7分即1212121cccc+=ìí+=î，解得121,0cc==.……8分所以2(12).xyxe=-六、（本题满分9分）设位于点(0)1，的质点A对质点M的引力大小为2rk(k0为常数，r为质点A与M之间的距离)，质点M沿曲线22xxy-=自(2,0)B运动到0(0)O，.求在此运动过程中质点A郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第5页对质M点的引力所做的功.解：{0,1}MAxy=--uuur……2分22(1).rxy=+-因引力fuv的方向与MAuuuv一致，故3{,1}kfxyr=--uv.……4分从而»3[(1)]BOkWxdxydyr=-+-ò……6分1(1)5k=×-.……9分七、（本题满分6分）已知PBAP=,其中÷÷÷øöçççèæ-=÷÷÷øöçççèæ-=112012001,100000001PB求A及5A.解：先求出1100210411P-æöç÷=-ç÷ç÷-èø.……2分因PBAP=，故1100100100210000210211001411APBP-æöæöæöç÷ç÷ç÷==--ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷--èøèøèø100100100200210200201411611æöæöæöç÷ç÷ç÷=-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷----èøèøèø.……4分从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPBPPBPA-----===6444444444444744444444444486447448L个个（）()()==.……6分八、（本题满分8分）已知矩阵÷÷÷øöçççèæ=xA10100002与÷÷÷øöçççèæ-=10000002yB相似，(1)求x与y；(2)求一个满足BAPP=-1的可逆矩阵P.解：(1)因A与B相似，故||||EAEBll-=-，即……1分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第6页200200010001001yxllllll---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))xyyllllll---=-+--.比较两边的系数得0,1xy==.此时200001010Aæöç÷=ç÷ç÷èø，200010001Bæöç÷=ç÷ç÷-èø.……3分(2)从B可以看出A的特征值2,1,1l=-.……4分对2l=，可求得A的特征向量为1(1,0,0)Tp=.对1l=，可求得A的特征向量为2(0,1,1)Tp=.对1l=-，可求得A的特征向量为3(0,1,1)Tp=-.……7分因上述123,,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.令123100(,,)011011Ppppæöç÷==ç÷ç÷-èø，则P可逆，且有BAPP=-1.……8分九、（本题满分9分）设函数)(xf在区间[,]ab上连续，且在),(ba内有0)(¢xf.证明：在),(ba内存在唯一的x，使曲线)(xfy=与两直线(),yfxax==所围平面图形面积1s是曲线)(xfy=与两直线(),yfxax==所围平面图形面积2s的3倍.证：存在性在[,]ab上任取一点t，令òò---=bttadxtfxfdxxftftF)]()([3)]()([)(()()()3()()()tbatfttaftdxfxdxftbtéùéù=-----êúêúëûëûòò…3分则()Ft在[,]ab上连续.又因0)(¢xf,故()fx在[,]ab上是单调增加的.于是在(,)ab内取定点c，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacFafxfadxfxfadxfxfadx=--=----òòò[]113[()()]3()()()0,bcfxfadxffabccbxx£--=---££ò..()[()()][()()][()()]bcbaacFbfbfxdxfbfxdxfbfxdx=-=-+-òòò郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题详解及评分参考1988年•第7页[()()]cafbfxdx³-ò[]22()()()0,fbfcaacxx=--££.……5分所以由介值定理知，在(,)ab内存在x,使0)(=xF，即.321SS=……6分唯一性因()()[()3()]0Ftfttabt¢¢=-+-，……8分故)(tF在(,)ab内是单调增加的.因此，在(,)ab内只有一个x,使.321SS=……9分十、填空题（共6分，每个2分）(1)设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为.【答】应填1.3【解】设A在一次试验中出现的概率为p，则()()30300319111127Cppp-=--=--，解得1.3p=(2)在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为.【答】应填17.25【解】设这两个数为x和,y则(,)xy的取值范围是如图所示的正方形区域,G而事件“两数之和小于65”即“65xy+”使(,)xy的取值范围为途中阴影部分,D根据几何概型知所求概率为2