函数的单调性题型归纳

函数的单调性一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．三、教学过程：（一）主要知识：1、函数单调性的定义；2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域3、函数单调性的证明：定义法；导数法。4、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。（二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．（三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，（2）222()82(2)(2)gxxx4228xx，3()44gxxx，令()0gx，得1x或01x，令()0gx，1x或10x∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)．例2．设0a，()xxeafxae是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明()fx在(0,)上为增函数．例3．若()fx为奇函数，且在(,0)上是减函数，又(2)0f，则()0xfx的解集为(,2)(2,)．例4．已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx．解：（1）令121xx，得(1)2(1)ff，∴(1)0f，令121xx，得∴(1)0f，∴()(1)(1)()()fxfxffxfx，∴()fx是偶函数．（2）设210xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx∵210xx，∴211xx，∴21()xfx0，即21()()0fxfx，∴21()()fxfx∴()fx在(0,)上是增函数．（3）即不等式的解集为1010(,)22．例5．函数9()log(8)afxxx在[1,)上是增函数，求a的取值范围．另解：（用导数求解）令()8agxxx，函数9()log(8)afxxx在[1,)上是增函数，∴()8agxxx在[1,)上是增函数，2()1agxx，∴180a，且210ax在[1,)上恒成立，得19a．（四）巩固练习：1、下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（）（A）xy1（B）xy（C）1xy（D）122xxy2、设函数)(xf是减函数，且0)(xf，下列函数中为增函数的是（）（A）)(1xfy（B）)(2xfy（C）)(log21xfy（D）2)]([xfy3、已知)(xfy是定义在R上的偶函数，且)(xf在（0，+∞）上是减函数，如果01x，02x且|,|||21xx则有（）（A）0)()(21xfxf（B）0)()(21xfxf（C）0)()(21xfxf（D）0)()(21xfxf4、已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在),0[上为增函数，0)31(f，则不等式0)(log81xf的解集为（）（A）)21,0(（B）),2(（C）),2()1,21(（D）),2()21,0(变题：设定义在[-2,2]上的偶函数()fx在区间[0,2]上单调递减，若(1)()fmfm，求实数m的取值范围。5、（1）函数3422)(xxxf的递增区间为___________；（2）函数)34(log)(221xxxf的递减区间为_________变题：已知()log(2)afxax在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿。答案：1、D2、C3、C4、D变题：11,25(1),2(2)1,2变题：（1,2）四、小结：函数单调性或者求函数单调区间的求法。五、作业：