新东方在线考研数学基础班-线性代数讲义

新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-1-新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材线性代数部分前言1．复习线性代数应该着重于概念部分线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。3．对大家学习的建议学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。（1）有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。（3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。第一讲基本知识一．线性方程组的基本概念mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,m与n不一定相等。两个研究目标：（1）讨论解的情况（nkkk,,,21）唯一解，无穷多解，无解（2）求解，无穷多解时求通解。齐次线性方程组：021mbbb。新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-2-零解（0,,0,0）。唯一解：即只有零解。无穷多解：有非零解。二．矩阵和向量1．什么是矩阵和向量81333924522011111012A系数矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211增广矩阵mmnmmnnbbbaaaaaaaaa212122221112111,3,1，13154321,,,,A2．线性运算与转置①加（减）法②数乘1612043502214110233,9,31,3,13①ABBA②CBACBA③cBcABAcdAcAAdc新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-3-④AcddAc⑤00ccA或0A。向量组的线性组合s,,,21，ssccc2211。转置A的转置TA（或A）401213411023T1,3,1，131TAATTTTTBABATTAccA。3．n阶矩阵n行、n列的矩阵。对角线，其上元素的行标、列标相等,,2211aa对角矩阵*000*000*数量矩阵E3300030003单位矩阵IE或100010001新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-4-上（下）三角矩阵*00**0***对称矩阵AAT。反对称矩阵AAT。三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分初等列变换初等行变换三类初等行变换①交换两行的上下位置BA②用非零常数c乘某一行。③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵34120100000320001521002014①如果有零行，则都在下面。②各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。台角：各非零行第一个非0元素所在位置。简单阶梯形矩阵：3．台角位置的元素都为14．台角正上方的元素都为0。00000231000152100201400000320001521002014新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-5-00000231000213021021902040000023100021302103001400000231000213021081902101每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果A是一个n阶矩阵A是阶梯形矩阵A是上三角矩阵，反之不一定，如100010100是上三角，但非阶梯形*000**00***0****四．线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：①交换两个方程的上下位置。②用一个非0数c乘某一个方程。③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。2323109425342432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx21054323194123111101181144000210011101011新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-6-841214441432421xxxxxxxxx24x，33x，02x，21x。矩阵消元法：①写出增广矩阵A，用初等行变换化A为阶梯形矩阵B。②用B判别解的情况。i）如果B最下面的非零行为d0,,0，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是B的非零行数，则n时唯一解。n时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉B的零行，得00B，它是cnn矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。nnnnbbbbB11221100000*000**00***0****则0nnbiinnbb011都不为0。于是把00B化出的简单阶梯形矩阵应为nccc21100000000100001其方程为,,,2211nncxcxcx即nccc,,,21就是解。新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-7-第二讲行列式一．形式与意义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A是n阶矩阵，A表示相应的行列式。二．定义（完全展开式）bcaddcba一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值：①是!n项的代数和②每一项是n个元素的乘积，它们共有!n项nnjjjaaa2121其中njjj21是n,,2,1的一个全排列。③nnjjaa11前面乘的应为njjj211njjj21的逆序数n,,2,16n，436512新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-8-00232310nnnjjjnjjjjjjaaa212121211例1．nnnnnnnaaaaaaaaa221122111222111000*00**0***例2．43214321432143211000000000000bbbbbbbbbbbbnnnnbbbbbb21211211*****0*00000212112nnCnnn例3．xxbxaxxf1221102085413求xf中的4x和3x的系数三．计算（化零降阶法）余子式和代数余子式新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-9-称ijM为ija的余子式。ijjiijMA1定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD2222222121215402723150272542221403272424350152340217225074112命题：第三类初等变换保持行列式的值501211221215002123215402723化零降阶法例4．求行列式2235007022220403的第四行各元素的余子式之和。四．行列式的其它性质1．转置值不变AAT2．用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘cAccAn3．行列式和求某一行（列）分解,,,,,,2121新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-10-321,,A，3阶矩阵321,,BBABA332211,,BA332211,,BA3322133221,,,,4．第一类初等变换使值变号5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。7．BABABA008．范德蒙行列jiijnaaaaa)(111112nC个例5．设4阶矩阵321,,,rrrA，321,,,rrrB，已知2A，3B，求BA。例6．30123111zxyyxzzyxdcba911A，312A，113A，314A3013111111zxyxzzyMA新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-11-093331890333903339zxyyxzzyx即303931233039zyxzyxzyx五．元素有规律的行列式的计算例7．22222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa解：22222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212121124aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa200000200000200000201244224aa例8．xxxx1111111111111111例9．annnnaaA22221111，求0A的条件新东方在线考研数学基础班电子版教材——线性代数-12-例10．4321532154215431543254321六．克莱姆法则克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵（即方程个数m未知数个数n），则0A时，方程组唯一解，此解为ADADADn,,,21iD是A的第i列用nbbb21代替后所得n阶行列式：0A时，解如何？即唯一解?0A？改进：0A唯一解证明：rBA行00BArbbbrBnn000*00**0***22