2.2 对数函数讲义

12.2对数函数一、对数的概念：如果xa＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝Nalog，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log10N简记为lgN，如：log105记为lg5（2）自然对数：把以无理数（e＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN，如：loge5记为ln5。性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即loga1＝0；（3）底数的对数等于1，即logaa＝1例1：求下列各式中的x（1）logx27＝23（2）x＝log2791（3）log5(log2x)＝0【解析】：（1）∵logx27＝23∴23x＝321)(x＝27＝33∴21x＝3∴x＝9（2）∵x＝log2791∴x27＝91∴x33＝91＝23∴3x＝－2∴x＝－32（3）∵log5(log2x)＝0∴log2x＝1∴x＝2变式练习：解下列方程（1）log64x＝－32（2）logx4＝2（3）lg2x－lgx－2＝0【解析】：（1）161（2）2（3）101或1000二、对数运算性质【如果a＞0且a≠1；M＞0，N＞0，m、n∈R】（1）loga(MN)＝logaM＋logaN（2）logaNM＝logaM－logaN（3）logaMn＝nlogaM[mabnlog＝nmlogab]（4）NaNalog对数恒等式（5）logab＝abccloglog＝ablglg＝ablnln(c＞0且c≠1)换底公式（6）logab＝ablog12例2：计算（1）lg12.5－lg85＋lg21（2）lg5＋31lg8＋lg5×lg20＋lg22（3）20log77×7.0log77【解析】：（1）原式＝lg(12.5×21×58)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋31lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg25＋lg22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2（3）原式＝7.0log20log777＝14log77＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301，lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg（4）0.21log35；【解析】：（1）：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg21)lg(3)lg23lg103232lg32lg212lg10．（4）原式=0.251log3log3555151553；变式练习2：计算：125sinlog2＋125coslog2的值为（）A：4B：1C：－4D：－1【解析】：125sinlog2＋125coslog2＝125cos125sinlog2＝65sin21log2＝41log2＝2)2()2(log21＝212＝－4C例3：3log4×2log9＋4232log【解析】（1）原式=2345412log452log213log21232．3变式练习1：计算：(125log2＋25log4＋5log8)×(2log5＋4log25＋8log125)【解析】：13变式练习2：已知log189＝a，18b＝5，求log3645的值。【解析】：5log18＝b，则log3645＝36log45log1818＝2log18log5log9log18181818＝2log118ba＝)918(log118ba＝9log1118ba＝aba2例4：解方程lg(x＋5)2＝2【解析】：∵lg(x＋5)2＝2∴2lg｜x＋5｜＝2∴lg｜x＋5｜＝1，即｜x＋5｜＝10∴x＝5或x＝－15变式练习1：已知)](log[loglog237x＝0，那么21x等于（）A：31B：63C：33D：42变式练习2：若实数x满足21(xlg－3lg)＝5lg－21)10lg(x，则x＝________。【解析】：153lgx＝)105lg(x，得3x＝105x，x＝－5(舍去)或x＝15三、对数函数概念：函数f(x)＝xalog（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，＋∞）例5：求下列函数的定义域（1）f(x)＝log2(x－2)（2）f(x)＝)3(log15x【解析】：（1）x－2＞0解之得x＞2（2）1303xx解之得x＞－3且x≠－2变式练习1：（1）f(x)＝)2(log)1(xx（2）f(x)＝)1(log121x（3）f(x)＝)3lg(562xxx4【解析】：（1）x＞1且x≠3（2）(1，2)（3）－3＜x≤1且x≠－2变式练习2：已知函数f(x)＝x11的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A：{x︱x＞－1}B：{x︱x＜1}C：{x︱－1＜x＜1}D：【解析】：C四、对数函数的图象与性质底数：a＞1底数：0＜a＜1定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)恒过定点（1，0）在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数当x＞1，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1，y＜0当x＜1，y＞05（1）底数互为倒数，两对数函数图象关于x轴对称（2）当a＞1在第一象限底数越大，图象越靠近x轴，在第四象限底数越大越靠近y轴；当0＜a＜1在第四象限底数越小越靠近x轴，在第一象限底数越小靠近y轴。【小大小大】（3）当a＞1，log2a＞log5a＞log0.2a＞log0.5a；反之若：当0＜a＜1，log0.5a＞log0.2a＞log5a＞log2a例6：比较大小（1）4.3log2__________5.8log2（2）3log_____8.0log2（3）8.1log3.0______7.2log3.0（4）7log6______6log7【解析】：＜＞＞＞变式练习1：实数1.59.0，9.01.5，1.5log9.0的大小关系是______________。【解析】9.01.5＞1.59.0＞1.5log9.0变式练习2：如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是（）A：a＞b＞cB：c＞b＞aC：c＞a＞bD：a＞c＞b【解析】：D变式练习3：关于x不等式)12(log21x＞)12(log21x的解集为_______________。【解析】：xxxx31203012解之得：－21＜x＜326变式练习4：求解关于x不等式31logx＜1。【解析】：(0，31)∪(1，＋∞)例7：已知函数f(x)＝0,100,lgxxxx，则f[f(－2)]＝_____________。【解析】：f[f(－2)]＝f(210)＝f(1001)＝lg1001＝－2变式练习1：已知函数函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝_____________。【解析】：2变式练习2：设函数f(x)＝xalog(a＞0且a≠1)，若f(x1×x2×…×x2017)＝8，则f(21x)＋f(22x)＋…＋f(22017x)的值等于________。【解析】：16例8：已知函数f(x)＝)2lg(2axx的定义域为R，实数a的取值范围是__________。【解析】：(1，＋∞)变式练习1：设函数f(x)＝]1)12()1lg[(22xaxa，若函数f(x)的定义域为R，实数a的取值范围是__________。【解析】：(－∞，－54)变式练习2：已知函数f(x)＝)11(logxxa(a＞0且a≠1)。（1）函数f(x)的定义域是________；函数f(x)的是___________函数（填奇、偶、非奇非偶）。变式练习3：已知函数f(x)＝)3(logaa，当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围是___________________。【解析】：，3－ax0对x∈[0,2]恒成立，a0，且a≠1.设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0,2]上为减函数，∴g(x)min＝g(2)＝3－2a0，∴a32.∴a的取值范围是(0,1)∪(1，32)．五、反函数：概念：设A，B分别是函数y＝f(x)的定义域和值域，如果由函数y＝f(x)所解得的x＝g(y)也是一个函数（即对任意一个y∈B，都有唯一的一个x∈A与之对应，也就是一一映射），那么就称x＝g(y)是函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y)，习惯上改写成y＝f－1(x)。特别的：指数函数和对数函数互为反函数。7步骤：（1）求出函数y＝f(x)的值域作为反函数的定义域；（2）由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；（3）把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域（即为原函数的值域）。性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；（2）若奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；（3）若点（a，b）在原函数图象上，则点(b，a)必在其反函数图象上；（4）原函数的单调性与反函数的单调性相同；（5）原函数与反函数的图象关于y＝x对称。例8：若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________。【解析】：∵函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数∴f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴f(2)＝loga2＝1，∴a＝2∴f(x)＝log2x变式练习：（1）已知y＝x)41(的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝21，则x0＝___________。【解析】：2（2）设函数f(x)＝3412xx，y＝g(x)是f(x)的反函数，则g(－2)＝___________。【解析】：65课后综合练习1、32＝81化为对数式为()A：2log81＝－3B：)3(log81＝2C：)81(log2＝－3D：)3(log2＝81【解析】：C2、在b＝)5(log)2(aa，实数a的取值范围是()A：a＞5或a＜2B：2＜a＜3或3＜a＜5C：2＜a＜5D：3＜a＜4【解析】：B3、有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是()A：①③B：②④C：①②D：③④【解析】：C4、2log510＋log50.25＝()8A：0B：1C：2D：4【解析】：C5、已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()A：abaB：bbaC：baaD：bab【解析】：B6、计算log89×log932的结果为()A：4B：35C：41D：53【解析】：7、如果lg2＝a，lg3＝b，则15lg12lg等于()A：baba12B：baba12C：baba12D：baba128、计算：（1）3log4×2log9－42132log（2）25log2×8log3×9log5（3）(3log4＋3log8)(2log3＋2log9)（4）3log2×4log3×5log4×2log5【解析】：23124519、求下列函数的定义域：（1）)4(log2xy（2）11lgxy（3）)1(log)(31xxf【解析】：x＜4x＞11＜x≤210、设集合设A＝{x|x＞1或x＜－1}，B＝{x|log2x＞0}则A∩B等于（）A：{x︱x＞1}B：{x︱x＞0}C：{x︱x＜－1}D：{x︱x＜－1或x＞1}【解析】：A11、若log2a