机械振动学部分习题

1-1用加速度计测得某结构按频率25Hz做简谐振动时的最大加速度为5g（g=9.80）。求此结构的振幅和最大速度。2/sm()()smfAAvxmfggAAx/312.025210199.0210199.025280.952552maxmax2222maxmax=×××=⋅===×=××===⇒==−−ππωππωωα1-2已知某机器的振动规律为问此振动是否简谐振动？试分别用坐标做出运动图、速度图和加速度图，并在图上标出振幅、周期、最大速度、最大加速度和相位值。)(cos3.0sin5.0cmttxωω+=srad/10πω=txtxtx−−−,,()()()022222max22max22296.305.03.0arctan/1044.572)10(1058.0/1022.18101058.02.010221058.0sin58.0sin3.05.0==×=××==×=××=====×=+=++=−−−−−ϕπππππϕϕsmAwxsmAwxswTmAcmwtwtx12-1如图所示，一小车（重P）自高处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾斜角为α，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的周期与振幅。解：+=⇒+=======αωπωπωα2202000sin2)(222sinkPhkPAxxAgkPTPgkmkghxkPxnnn22-8复摆，刚体的质量为m，重心G到支点的距离为d，确定其固有频率。解：由牛顿定律：因为微振动：θθ≈sin则有：0=+θθmgdJJmgdn/=ω固有频率：mgJθd0G0sin=+θθmgdJ32-20用衰减振动法测定某系统的阻尼系数,测得在振动了30周时,振幅由0.258mm减少到0.10mm，求此系统的阻尼比。δξωnTnxxnnTii==+ln005.0=ξ解：由公式在本题中：代入公式求得mmxi258.0=mmxnTi10.0=+30=n212ξπξδ−=n42-37一个车轮以速度v等速沿波形面移动，确定重为W的质量块在垂直方向运动的振幅。假定在W的作用下弹簧的静位移为，当车的固有频率为：y=sin/,2.5,92axlacmlcmπ==。xvt=2xl=时，2lvT=则地面扰动的周期为：2lTv=则地面扰动的频率为：2vTlππω==sinsinvyYtatlπω==//stnstWkgmWgδωδ===6.183stnvlgδωπγω===9.7,18.2/,stcmvmsδ==波形面可表示为：解：则地面扰动的方程为：()()()cmaYX067.01212122222=−=+−+=γξγγξγ52-47一机器重4410N，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力N，w为激振力频率，g为重力加速度，不计阻尼。求（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。解：振动方程44108820000.005k==固有频率44.27nkmω==（1）偏心激振力频率比12.84nrωω==传入地基的力为N（2）m6gwF254.2=gwF254.2=40933054.22==ngπ()3.579140932max=−==rkkkxF()421057.614093−×=−=rkXwtgwkxxmsin54.22=+2–57试求弹簧—质量系统，在图题2-57所示力函数的作用下的响应,系统初始处于静止.()tFoF1tto解:()≤−=11100ttttttFFtFoo()()()()()()+−−=+−−=−⋅−−=−⋅−=∫∫∫11131201001sincos1sincos1sinsinsin1tttttkFtmtFtmtFtkFdttmFdtmFdttFFmtxnnnonnononotnnotnnontoonωωωωωωωττωτωττωωττωτω当10tt≤当1tt()()()−−+−=−⋅−=∫1101sinsincossin11tttttkFdttFFmtxnnnnontoonωωωωττωτω7P138例1.一根带两集中质量m1和m2的无重钢梁,现只考虑与弯曲变形有关的微小位移,求列出系统的位移方程.解:建立坐标如图示dij:在坐标xj处单位力(=1)作用,而其他坐标处不受力,在xi处产生的位移.()EIlEIld24323311==()()EIlEIllEIld4852223232312=+=EIld485321=EIld3322=[]==165524834854852433333EIlEIlEIlEIlEIlD位移形式的振动微分方程为()()−=212121321001655248yymmtFtFEIlyy位移方程的一般形式是:{}[](){}[]{}{}xMtFDx−=1m2m1y2y2l2l()tF1()tF2★柔度影响系数:83-1一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常数为171500N/m。试确定系统的固有频率和模态向量。m1m2kx1x215408.9156922==m−−=−=)()(12221211xxkxmxxkxm=+−=−+0021222111kxkxxmkxkxxm−−=kkkkK][28.951==mka28.951−=−=mkb36.1112−=−=mkc36.1112==mkd32.10332.1032222,12=+−+=bcdadannω01=nω37.142=nω1121=−−=barnω16.1222−=−−=barnω{}[]Tu111={}[]Tu16.112−=18008.9176401==m[]=2100mmM解：依题，由牛顿定律可得整理得令故系统的固有频率为所以所以则9103-11图题所示的弹簧质量系统在光滑水平面上自由振动.若运动的初始条件为t=0时,x10=5mm,x20=5mm;初始速度为.试求系统的响应.02010==xxk1x2x1m2mk解:系统的质量矩阵和刚度矩阵为[]=mmM00[]−−=kkkkK2由[][]02=+−KMnω0222=−−−−ωωmkkkmkn032242=+−kkmnnωωmkmkmkknn618.2382.02532221==ωω由022122=−−−−uumkkkmknnωω当mkn382.021=ω()0382.022111=−−kuukk令111=u则618.121=u当mkn618.222=ω()0618.222212=−−kuukk令112=u则618.022−=u[]−=618.0618.111u()()++=2221112121sinsin11ψωψωtAtArrxxnn将初始条件051010==xmmx052020==xmmx代入书上p113.(3.1–43)式()()212201022201021211nxxrxxrrrAω−+−−=()()mm618.3055618.0236.212=+−×−=()()222201012201011221nxxrxxrrrAω+−++−−=()()mm382.1055618.1236.212=++×−=()201022010211xxrxxrtgn−−=ωψ()201012010122xxrxxrtgn−−=ωψ211πψψ=∞→tg222πψψ=∞→tg1112++−=2sin382.12sin618.3618.0618.1112121πωπωttxxnn()⋅+⋅=tmktmktx618.1cos382.1618.0cos618.31()⋅−⋅=tmktmktx618.1cos854.0618.0cos854.523–23图示简支梁,弯曲刚度为EI,试确定振系的柔度矩阵,并写出运动方程.1m2m1F2F1y2y3l3l3l1y2y3l3l3l一.柔度影响系数dij:在坐标xj处单位力(=1)作用,而其他坐标处不受力,在xi处产生的位移.21d11d()10=F查材料力学(I)p190表6.1EIllllEIllld24343236332322211=−−⋅=EIldd243431122==21332212486733633dEIllllEIllld==−−⋅=1y2y3l3l3l()10=F12d22d解:建立坐标如图13[]=87784863EIlD{}[](){}[]{}[]yMtFDy−=−=∴212121321008778486yymmFFEIlyy14