第七讲-空间插值

第七讲空间插值金毅河南理工大学资源环境学院454003ＱＱ:65585045电话:[phone]E_mail:[e-mail]基本内容空间插值：定义及应用空间插值方法及特征泰森多边形（Voronoi）及不规则三角网（TIN）距离反比加权法（IDW）地质统计学（Geostatistics)为何进行插值？如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续的栅格数据生成更密、更光滑的TIN或者栅格单元。1.2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面为何进行插值？1.2D离散点向规则栅格数据的转化给定的离散样品数据规则格网数据为何进行插值？2.3D离散点转化为连续体数据，土壤属性、金属分布高程[m]土样空间构型利用3D空间样品数据转化为3D连续的体数据砂岩黏土为何进行插值？3.动态采样的2D、3D数据转化为动态演化的时空连续模型不同时期地表采样点高程的变化恢复的三维形貌地下水污染扩散模型一、空间插值的基本原理基于离散样品的空间和属性信息，根据预定的精度要求或确定的规则，推演出时空演化模型（函数）。利用该函数，借助或完全脱离样品数据，估算未采样位置的目标属性（属性和空间信息）的过程。利用插值结果，估算插值的精度和误差。1.空间插值的定义一、空间插值的基本原理给定m各样本点，记为(xi,yi,zi)，推演公式F(x,y),使其对点1~m满足以下关系：插值—F(xi,yi)=zi逼近—zi=F(xi,yi)+e(xi,yi)利用该函数F(x,y)，计算格点坐标为(xk,yk)的zk值1.空间插值的定义-二维解释一、空间插值的基本原理2.地质现象的多解性rrj需要额外条件！！！二、空间插值方法1.插值方法分类根据不同的条件假设，可以定义如下几类插值方法局部插值方法：样品点只对其周围一定范围内的数据有影响即一给定位置的数值同其邻域相似—相近者相似地质统计学方法(GeostatisticalCondition)任何地学现象都是某一随机函数的一个实现光滑插值方法：插值函数在确保通过或接近采样点的同时尽量光滑二、空间插值方法2.局部插值方法在局部插值的过程中，待估点属性值只决定于周围的领域属性，即只需要全局样本的一子集。泰森多边形插值：基于不规则三角网的插值距离反比加权插值二、空间插值方法2.1泰森多边形和Delaunay三角剖分Delaunay三角剖分：将样品点集投影到某一平面，根据这些点构建三角形，任何三角形的外接圆内无样本点。二、空间插值方法2.1泰森多边形和Delaunay三角剖分泰森多边形方法又叫最近邻点法。它采用一种极端的边界内插方法—只用最近的单个点进行区域插值（区域赋值）。泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域包含一个数据点，各子区域到其内点的距离小于到任何其它数据点的距离，并用其内点进行赋值。二、空间插值方法2.1泰森多边形评价特征：得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的；适用于较小的区域内，变量空间变异性不很明显的情况；优点是不需其他前提条件，方法简单，效率高；缺点是受样本点的影响较大，只考虑距离因素，对其他空间因素和变量所固有的某些规律没有过多地考虑。实际应用中，效果常不十分理想。二、空间插值方法3.局部邻域算数平均法算术平均值方法以区域内所有测值的平均值来估计插值点的变量值；算术平均值的算法比较简单，容易实现。但只考虑算术平均，根本没有顾及其他的空间因素，这也是其一个致命的弱点，因而在实际应用中效果不理想。二、空间插值方法4.距离反比加权法距离反比插值方法最早在1982年由RichardFranke等提出的，并逐步得到发展；每个采样点对插值结果的影响随距离增加而减弱，因此距目标点近的样点赋予的权重较大。011*1()1()niiiniinniiattrattrwpowerDistwpowerDist二、空间插值方法4.距离反比加权法—参数对插值结果的影响权重的影响权重系数大，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光滑）；权重系数小，较远点的影响增加，拟合表面更光滑。缺省值常为2。搜索半径的影响对固定型半径，搜索距离一定，所有在该半径内的样点参与计算；设定参与计算的样点数是固定的，则搜索的半径是可变的。这样对每个插值点的搜索半径可能都不同。Power=2,search=230Power=2,search=150Power=2,search=600Power=4,search=600二、空间插值方法4.距离反比加权法—优缺点优点——简便易行；可为变量值变化很大的数据集提供一个较合理的插值结果；不会出现插值结果而无法解释的现象。不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式（板书）；全局最大和最小变量值都散布于数据之中。距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样点数据取值范围内。二、空间插值方法5.趋势面分析地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应该对应剩余值最小，趋势值最。这样拟合度精确度才能达到足够的准确性；在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。二、空间插值方法5.1趋势面模型的建立设地理要素的实际观测数据为Zi(xi,yi)(i=1,2,…,n)，趋势值拟合值为，则有式中，为剩余值（残差值）数学方程式多为多项式函数。任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。(,)iiizxy(,)(,)iiiiiiizxyzxyi二、空间插值方法5.2趋势面模型的参数估计趋势面分析的核心就是从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和最小从而估计趋势面参数假设二维空间中有n个观测点(xl,yl)(l=1,2,…,n)，观测值为zl,空间分布z的趋势面可表示为N次多项式,,0ˆNijijijijNZaxy二、空间插值方法5.2趋势面模型的参数估计多项式趋势面随着N值的不同，其形态也不同N值越大，拟合精度越高。拟合精度C以下式表示，通常C为60％～70％时，该多项式就能够揭示空间趋势一次多项式二次多项式三次多项式22ˆ1100%iiniinzzCzz二、空间插值方法5.3趋势面实例序号降水量Z/mm横坐标x/104m纵坐标y/104m127.601238.41.10.63241.80424.72.9505323.40.2655.51.81.7740.40.71.3837.50.229310.853.351031.71.653.1511532.653.11244.93.652.55二、空间插值方法5.3趋势面模型的优缺点优点产生平滑的曲面；结果点很少通过原始数据点，只是对整个研究曲面产生最佳拟合面缺点高次多项式在数据区外围产生异常高值或低值二、空间插值方法6地质统计学插值克里金插值由南非采矿工程师D.G.克里格（D.G.Krige）于1951年首次提出，故命名为“克里金”法，后经法国著名地理数学学家G.Matheron发展深化而形成的理论体系，称为地质统计学(Geostatistics)二、空间插值方法6.1地质统计学基本原理理论假设：认为任何在空间连续变化的属性既①不是完全随机，②也不是完全确定的。任何变量的空间变化表现为三个主要成分的和与恒定均值或趋势有关的结构性成分；与空间变化有关的空间自相关部分，即区域性变量；与空间变化无关的随机噪声项或剩余误差项Z(x)=m(x)+g(h)+”一旦结构性成分确定后，剩余的差异变化属于同质变化，不同位置之间的差异仅是距离的函数区域性变量的特点：随机性：即局部不规则的随机性质，可采用统计推断结构性：即存在某种空间自相关,可用某一数学函数来表示二、空间插值方法6.2变异函数变异函数：定量描述区域性变化的第一步，它为空间插值、优化采样方案提供了有益信息。半方差的估算公式变异函数图：拟合后变异函数图，是确定局部内插需要的参数二、空间插值方法6.2变异函数计算对于31个样本对，可以计算标准差，假定均值为0,且为正态分布N(h)1i2h)]Z(xi[Z(xi)2N(h)122222222222222222222222(3537)(3638)(3835)(3743)(3837)(3736)(4342)(3742)(3635)(3535)(4240)(3539)(3538)(3537)(3939)1(3839)(3737)(3438)(3033)(3937)31(3741)(3837)s222222222(3336)(4136)(3740)(3633)(3235)(2929)(3338)(3534)(3028)50100二、空间插值方法6.3滞后距（LAG）的影响二、空间插值方法6.4理论变异函数块金值（C0；Nuddget):当h=0时的非零变异值，由不可解释的原因引起；基台值（C0+C；sill):变异曲线变平缓时的变异值，表明在某个距离上样本点不再存在相关性，通常等于数据集的方差；变程值（range）:当基台值出现时的h值.重要的是原点附近变异图的形状，越是最近的点对插值结果的影响越大二、空间插值方法6.5kriging插值方法式中：Z0为待插入点的值；Zx为已知点的值Wx为每个点的权重值计算Wi，按采样点数据的变异函数图的统计分析原理来计算10*niiiZZw二、空间插值方法6.5kriging权重计算方法距离反比加权法kriging（地质统计学方法）h11r(h11)式中：r(hij)是已知点i和j之间的变异值，r(hi0)是已知点i和待估点之间的变异值，r(hij)和r(hi0)可以通过变异函数求得；Wi为每个已知点的权重，u是拉格朗日系数，是为了将估计误差降低到最小；根据上式，通过解算联立方程可以计算出Wi二、空间插值方法—待续习题构建泰森多边形二、空间插值方法—待续习题距离反比插值（权重系数为2）二、空间插值方法—待续习题Kriging估值块金变程基台1.0110(m)3.1谢谢！