数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布19.设母体服从正态分布N,,2和2nS分别为子样均值和子样方差,又设21,~Nn且与n,,,21独立,试求统计量111nnSnn的抽样分布.解:因为1n服从21,0nnN分布.所以1,0~121Nnnn而1~222nnSn且2nS与1n独立,,所以1~1111ntSnnnnSnnn分布.即111nnSnn服从1nt分布.20.,,,1,,niii是取自二元正态分布N222121,,,的子样,设niiininiinSnn12111,1,12,2121niinS和niiniiiniir12211试求统计量122221nSrSSS的分布.解:由于.21E,cov2DDDnnnn2122212.所以n212221212服从1,0N分布.211212121222122iiniiiniiniiniSrSSSnii是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证SrSSS222与相互独立.1~22221222122nSrSSSn,所以统计量122221nSrSSS1)2(222122212221222121nSrSSSnn服从1nt分布.第二章：估计量1.设n,,1是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p的矩法估计量.解:pEpˆ3.对容量为n的子样,求密度函数其它,00,2;2axxaaaxf中参数a的矩法估计3.对容量为n的子样,求密度函数其它,00,2;2axxaaaxf中参数a的矩法估计量.解:3220adxxaaxEa令3a得3ˆa.4.在密度函数10,1xxaxfa中参数a的极大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?解:(1)niininnixxL111iix10.ln1lnln1niixnL令0ln1ln1inixnL，得niiLxn1ln1ˆ。由于01ln222nL故niiLxn1ln1ˆ是极大似然估计.(2)由211E令211得.112ˆ14.设n,,1为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和niinnS122)(11都是的无偏估计.并且对任一值10,2*1nS也是的无偏估计.证:对普哇松分布有DE,从而.E.11212*DEnESinin故与2nS都是的无偏估计.又112*nSE故2*1nS也是的无偏估计.15.设,,,1n为取自正态母体2,N的一个子样,试适当选择c,使21112niiicS为2的无偏估计.解:由iE2iD且n,,1相互独立可知,2jijiEEEji从而212112211212122EnEncEEEEcESiiiini12122ncDnci.取121nc时,nS为2的无偏估计.17.设随机变量服从二项分布,1,0,1xxnxPxnx,n试求2无偏估计量.解:由于nE222211nnnnnEDE故.122nnE从而当抽得容量为N的一个子样后,2的无偏估计为:.1ˆ22nNnii量.解:3220adxxaaxEa令3a得3ˆa.34.设n,,1是取自正态母体2,N的一个子样,其中为已知,证明(i)2121niinnS是2的有效估计;(ii)niin121是的无偏估计,并求其有效率.证i由nnSn222~知,.22nESnDSn422,又2,N的密度函数为22221xexf,故22222ln21lnxf对2求导得：224221lnxf从而4422442221241lnEfE4222221lnLE或，故RC下界为nn414221。2nS是2的有效估计.ii.由于22221202222dyeydxexEyxii故ˆE，即ˆ是的无偏估计.又2222121122222221ˆnnEEnDnDini而22222221lnEfE故C—R下界为n22，ˆ的有效率为876.022222nn。30.设n,,1是取自具有下列指数分布的一个子样.其它,00,1xexfx证明niin11是的无偏、一致、有效估计。证:由于20dxexExi是的无偏估计.又22220223dxexExi，故2iD从而.2nD，而224211lnEfE故RC下界为,2n因此是的有效估计.另外,由契比可夫不等式0222nnDP所以还是的一致估计.32.设n,,1是独立同分布随机变量,都服从10,,2,1,0,1;xxfx，则niinT1是的充分统计量.证:由于n,,1的联合密度为ixnnxxf1,,1,2,1,0ix取,121ixnk12k,则由因子分解定理知,nT是的充分统计量.33.设n,,1是独立同分布随机变量,都服从具参数为的普哇松分布,则niinT1是关于的充分统计量.证:由于n,,1的联合密度是nixnexxxfi!12,1,0ix取.21nxeki,12!ixk,则由因子分解定理知:nT是充分统计量.第三章：假设检验1设2521,,,取自正态母体)9,(N其中为未知参数,为子样均值，对检验问题0100:,:HH取检验的拒绝域:cxxxC0251:)(,试决定常数c使检验的显著性水平为0.05.解:因为），，（9N~所以），（259N~在0H成立下,,05.03512C3553PCP000C）（96.135,975.035CC,所以C=1.176.2．设子样),,(1n取自正态母体2020),,(N已知，对检验假设0100:,:HH的问题，取临界域01:)(cxxxCn.（i）求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系.（ii）设9,05.0,04.0,5.0200n,求65.0时不犯第二类错误的概率.解:(i).在0H成立下,），（nN~200nCnPCP00000000,00010100CnuCun其中1u是N（0，1）分布的分位点。在H1成立下,），（nN~20,nCnPCP000101=010001000uCnnnun当增加时，1u减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。（ii）不犯第二类错误的概率为1-。010.9500.650.511130.2unu=.7274.0605.0605.0125.2645.114，设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？解：母体,150,~2N，对假设1600:0H采用U—检验法，在H0为真下，检验统计量观察值为0261.2578,0.05xu时临界值0.975121.96uu。由于12uu，所以接受0H，即不能否定这批产品指标为1600小时5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平01.0。解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量，则E未知，2206.0D。检验假设64.2:0H。从母体中取了容量为100子样，近似服从正态分布，即：10006.0,~2N。因而对假设0H可采用u—检验计算检验统计量观察值02.622.641003.330.06un，0.01,0.995122.10uu。由于123.33uu。所以拒绝原假设0H即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。6.有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为:26.7,22.0,24.1,21.0,27.2,25.0,23.4试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?(0.05)解：设新安眠剂疗效为随机变量，则E未知，28.1D。检验假设8.20:0H，8.20:1H从母体中取了容量为7子样，近似服从正态分布，即：78.1,~2N。因而对假设0H可采用u—检验计算检验统计量观察值021.3420.870.371.8un，0.05,10.951.645uu。由于10.37uu。所以接收原假设0H，即新安眠剂未达到新的疗效。15．设X1,X2,---,Xn为取自总体X~20,N的简单随机样本，其中0为已知常数，选择统计量U=2120niiX，求2的1-的置信区间。解：由于U=2120niiX服从2(n)，于是202212122niiXnn故2的1