北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)

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1北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)3[]Rx表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3[]Rx中取两个基:21231,1,(1)xx;21232,2,(2)xx。(1)求123,,到123,,的过度矩阵,(2)求21xx在123,,下的坐标。二.(14分)设T是nR的线性映射,对任意12(,,,)TnnxxxxR满足11(0,,,)nTxxx。(1)证明0nT;(2)求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三.(12分)设1023510224iAiii,120xi,1i。计算11,,,AxAxAA。四.(10分)求矩阵1123101032160113A的满秩分解。2五.(12分)求矩阵011110101A的正交三角分解AUR,其中U是酉矩阵,R是正线上三角矩阵。六.(16分,1、2小题各5分,3小题6分)证明题:1.设A是n阶正规矩阵,且满足2320AAE。证明A是Hermite矩阵,并写出A的Jordan标准形的形式。2.设A是正定Hermite矩阵,且A是酉矩阵,证明AE。3.证明:若A是Hermite矩阵,则iAe是酉矩阵。七.(24分)设100011101A。(1)求EA的Smith标准形;(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准形;(3)求相似变换矩阵P使得1PAPJ;(4)求1P矩阵函数()fA,并计算tAe。北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)设3R两个:123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)TTT;123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)TTT。(1)求123,,到123,,的过度矩阵,(2)求子空间V,其中V中的向量在两个基下的坐标相同。3二.(14分)设线性映射43:TRR满足:对任意41234(,,,)TxxxxR,123412341241234(,,,)(,2,3)TTTxxxxxxxxxxxxxxx求的核()NT及值域()RT的基和维数。三.(12分)设210023120A。计算12,,AAA。四.(10分)求矩阵1321426107393111A的满秩分解。五.(12分)求矩阵102110123A的正交三角分解AUR,其中U是酉矩阵,R是正线上三角矩阵。六.(16分,1、2小题各5分,3小题6分)证明题:1.设A是n阶正规矩阵,且满足220AE。证明A是反Hermite矩阵,并写出A的Jordan标准形的形式。2.证明正定与半正定矩阵之和是正定矩阵。3.证明:若A是反对称矩阵,则Ae是正交矩阵。七.(24分)设110010221A。(1)求EA的Smith标准形;(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准形;(3)求相似变换矩阵P使得1PAPJ;(4)求1P矩阵函数4()fA,并计算tAe。北京交通大学2005-2006学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A)任课教师:老师专业学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(共24分,每小题8分)设5R空间中的向量110212,201221,312012,413233,512013,623445,SpanV11234,,,,SpanV256,,(1)求矩阵123456,,,,,A的满秩分解;(2)求21VV的维数及基;(3)求21VV的维数及基.二.(14分)求矩阵200002244002A的正交三角分解.三.(14分)设13021iiAii24C,计算12,,,FAAAA.四.证明题(共24分,每小题各8分):1.证明:两矩阵22222和23232相似.52.设A是正定Hermite矩阵,B是反Hermite矩阵,证明AB是可逆矩阵.3.设nxC,证明向量的无穷范数公式为:1maxjjnxx.五.(24分)设200101512A,(1)求EA的Smith标准形(写出主要步骤);(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准J;(3)求相似变换矩阵P使得1PAPJ;(4)求1P及函数()fA,并计算tAe.北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)设三维线性空间V的两个基为123:,,I和12:,,II,已知由I到II的过度矩阵为101010101A,V中的线性映射T满足123121232312313(23)(22)(34)TTT,(1)求T在基II下的矩阵表示;(2)求1T在基I下的坐标。6二.(14分)设4[]Rx是由次数小于等于3的所有实系数多项式组成的线性空间,4[]Rx中的线性映射T满足:对任意2301234()[]fxaaxaxaxRx,3032322110)()()()()(xaaxaaxaaaaxTf,求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三.(12分)设2310iAi。计算12,,,FAAAA。四.(10分)求矩阵011110222601123A的满秩分解。五.(12分)求矩阵002341122A的三角正交分解ARU,其中U是酉矩阵,R是正线下三角矩阵。六.(20分)证明题:1.设A是n阶正规矩阵,证明A是反Hermite矩阵的充要条件是A的特征值为纯虚数。2.设A是Hermite矩阵,证明:(1)iAe是酉矩阵;(2)tr||AAee。3.证明:n维欧氏空间V的线性变换T是反对称变换,即对任何,xyV,(,)(,)TxyxTy的充要条件是T在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。七.(20分)设126103114A。(1)求EA的Smith标准形;7(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准形;(3)求矩阵函数()fA,并计算tAe。北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)设3R的两个基为TTTI)1,0,1(,)1,0,1(,)1,1,1(:321和TTTII)5,4,3(,)4,3,2(,)1,2,1(:321,(2)求基I到基II的过度矩阵;(2)求T)1,1,1(在基I下的坐标。二.(14分)设线性影射34:RRT满足,对任意44321),,,(RxxxxT,TTxxxxxxxxxxxxxxxT)3,2,(),,,(432142143214321,求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三.(12分)设120520iiiA,(1)计算1A和A;(2)如果Tx)1,1,1(,计算1Ax和Ax。四.(10分)求矩阵131321111001011A的满秩分解。8五.(12分)求矩阵230111140A的正交三角分解URA,其中U是酉矩阵,R是正线上三角矩阵。六.(20分)证明题:1.设A是反Hermite矩阵,证明AE是可逆的。2.设A是正规矩阵,如果A满足0432EAA,证明:A是Hermite矩阵。3.证明:n维欧氏空间V的线性变换T是对称变换,即对任何,xyV,),(),(TyxyTx的充要条件是T在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。七.(20分)设100100011A。(1)求EA的Smith标准形;(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准形;(3)求矩阵函数()fA,并计算tAe。北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)3][xR表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3][xR中取两个基:2123:1,1,1Ixxx;9222123:1,,1IIxxxxx。(1)求基I到基II的过度矩阵;(2)求2123xx在基I下的坐标。二.(16分)设3[]Rx是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间,3[]Rx中的线性映射T满足:对任意20123()[]fxaaxaxRx,21202012()()()(2)Tfxaaaaxaaax,(1)求T的核()NT基和维数;(2)求值域()RT的基和维数;(3)求3[]Rx的一个基使得T在该基下的矩阵表示为对角矩阵。三.(12分)设11121121Aiiii,111x,1i。计算11,,,AxAxAA。四.(8分)求矩阵112221120112A的满秩分解。五.(12分)求矩阵122330006A的三角正交分解ARU,其中U是酉矩阵,R是正线下三角矩阵。六.(20分)证明题:1.设A是n阶正规矩阵,证明A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的绝对值等于1。2.设A半正定Hermite矩阵且AO,证明:||1EA。103.设A是正规矩阵,证明:2(||)maxjjA,其中j是A的第j个特征值。七.(20分)设126103112A。(1)求EA的Smith标准形;(2)写出A的最小多项式,A的初等因子和Jordan标准形;(3)求矩阵函数()fA,并计算tAe,||tAe。北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一.(12分)3R在3R中取两个基:123:(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)I;123:(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)II。(1)求基I到基II的过度矩阵;(2)求(1,2,3)在基I下的坐标。二.(14分)设线性映射33:TRR满足:对任意3123(,,)TxxxR,12312323123(,,)(6,42,26)TTTxxxxxxxxxxx求的核()NT及值域()RT的基和维数。三.(12分)设111121iAii,111x,1i。11计算11,,,AxAxAA。四.(8分)求矩阵111112340123A的满秩分解。五.(12分)求矩阵031042212A的三角正交分解ARU,其中U是酉矩阵,R是正线下三角矩阵。六.(20分)证明题:1.设A是n阶正规矩阵,证明A是Hermite矩阵的充要条件是A的特征值是实数。2.设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