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上海交通大学试卷电磁场与波期终试卷(A卷)姓名_________班级____________学号______________得分_____________一.填空题(每小题3分，共30分)1.已知一静止电荷q位于圆柱坐标系中的点()00,,,,3przpaaπϕ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠处，则此点电荷在直角坐标系中的点()()11,,,,pxyzpaaa=处产生的电场强度EG的y向分量yE=；电场强度EG在圆球坐标系中的θ向分量Eθ=解：(1)q在直角坐标系下的坐标为03,,22apaa⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，33003122244xyzaeaeaeqrrqErrrrπεπε⎛⎞+−+⎜⎟′−⎝⎠==′′−−GGGGGGGGGG()322003233112244322yyyaeaeqqErrarraaaaaπεπε⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠==′−⎛⎞⎛⎞′−−+−++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠GGGGGG(2)222rxyz=++,()222arccoszxyzθ=++,()arctanyxφ=coscoscossinsinxyzEEEEθθφθφθ=++2.矢量场的唯一性定理为在以闭合曲面S为边界的有界区域V内，如果给定t=0时刻的电场强度E和磁场强度H的初始值，并且在0t≥时，给定边界面S上的电场强度E的切向分量或磁场强度H的切向分量，那么，在0t时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程唯一地确定。3.真空中，已知一电磁波的电场强度为()()00cossinzyEaEtxaEtxωβωβ=−+−GGG，则此电磁波的磁场强度的瞬时表达式为：01xHeEη=×GGG4.时变场中，有机玻璃和水的交界面处的边界条件为12nnDD=，12nnBB=，12ttEE=，12ttHH=5.在一无限大的理想导体接地导电平面(xoy平面)上方(媒质为空气)距离为z处有一正电荷q，并位于均匀电场0zEaG中。当z=时，电荷受力为零。解：()2002042qEqzπε=6.真空中，载直流为I的两根半无限长直导线(垂直于xoy平面)和一半径为a的有缺口的圆环形导线(处于xoy平面内)构成回路。设缺口的张角为2α，则环心p点的磁感应强度B=G解：与第一套题类似。7.一均匀平面波从空气垂直入射到理想导体表面(z=0)上，已知其反射波的电场强度为()02jzrxyEEajaeβ=−+GGG，则其入射波为右旋椭圆极化波；理想导体表面(z=0)上的面电流密度SJ=G。解：()20022jjzjzrxyxyEEajaeEaeaeπββ−−−⎛⎞⎜⎟=+−=+⎜⎟⎝⎠GGGGG，故为右旋椭圆极化波。()()()10SnzirzJeHeHzHz==×=−×+GGG()()1iziHzeEzη=×G()()()1rzrHzeEzη=−×G8.一尺寸为ab×的矩形波导工作于10TE波，当工作频率9.25fGHz=时，波导波长4.95gcmλ=；当9.8fGHz′=时，其波导波长gλ′=。解：21gcffλλ=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，根据gλ计算出cf，再根据cf，计算出gλ′。9.尺寸为ab×的空气矩形波导(其轴线沿z向)中10TE波的平均功率密度的表达式*1Re2avttSEH⎡⎤=×⎣⎦GGG，功率容量的表达式1024brbrTEabPEZ=。解：*1Re2avSEH⎡⎤=×⎣⎦GGG1024brbrTEabPEZ=10.三个沿x轴排列，间距为2λ的半波对称振子(轴线沿y轴)用于自由空间中远区辐射电磁波，各电流元激励电流的相位相同，振幅比为1：2：1，则该天线阵的归一化方向图函数(),Fθϕ=二．问答1.试从麦克斯韦方程出发，详细导出适用于简单媒质的复坡印亭定理。参考：P186及P176解：单位时间电场对电流所做功的复功率为：*12EJ⋅GG由麦克斯韦方程DHJt∂∇×=+∂GGG，故DJHt∗∗∗∂=∇×−∂GGG故该复功率可写为：()**111222111222DEJEHEtDHEEHEt∗∗∗∗∂⋅=⋅∇×−⋅∂∂=⋅∇×−∇⋅×−⋅∂GGGGGGGGGGGG其中利用了公式()*EHHEEH∗∗∇⋅×=⋅∇×−⋅∇×GGGGGG由麦克斯韦方程(法拉第电磁感应定理)BEt∂∇×=−∂GG，得出：()**11112222BDEJHEHEtt∗∗∂∂⋅=−⋅−∇⋅×−⋅∂∂GGGGGGG即()****11112222ccEHEEjHHjEEσωμωε∗−∇⋅×=⋅+⋅−⋅GGGGGGGG提醒麦克斯韦四个方程的名称BEt∂∇×=−∂GG法拉第电磁感应定理；Dρ∇⋅=G高斯定理DHJt∂∇×=+∂GGG安培环路定理；0B∇⋅=G磁通连续性方程三计算题1.在一个半径为1R的接地导体球外有一球心相同、半径为2R的部分导体球壳，此球壳对球心的张角为02θ，如图所示。部分球壳上均匀分布面电荷，面电荷密度为Sρ。(1)导出接地导体球与部分球壳间z轴上任一点()(),,,0,0pRpRθϕ=DD处的电位表达式；(2)求出接地导体球上A点的面电荷密度SAρ的表达式；(3)以此问题的解题思路为基础，若适当改变题给条件，你认为此题还有哪些问题可求？解(1)由接地导体球面的电位必须为零，利用镜像法求出导体球内的镜像面电荷密度12sSRRρρ′=−，距离球心的距离：212RdR′=故：任意点p的电位表达式：()()()1144SSSSrrrdSdSrrrrρρϕπεπε′′′′′′′′=+′′′−−∫∫(2)类似第一问求出导体球面附近电势表达式利用Snϕρε∂=−∂求得导体表面的电荷分布。2.一工作频率为100MHz的垂直极化波以60D的入射角从淡水(80,0rεδ=≈)中入射到淡水河空气的平面交界面(z=0)上，(1)试详细推导并求出淡水和空气交界面处的反射系数；(2)导出空气中电场强度的复数表达式；(3)写出空气中复坡印亭矢量。解：P243-2453.一空气填充的矩形波导的尺寸为()22310abmm×=×，波导中传输工作频率为f=10.87GHz的导行电磁波，若已知此导行波的电场强度的最大值为500V/m,求(1)波导中传输模式的波导波长、相速以及波阻抗；(2)波导内壁表面处传输模式的纵向面电流密度的最大值。解：2810213106.52222310cafGHzaππμεμε−⎛⎞⎜⎟×⎝⎠====××2202132cafGHzππμε⎛⎞⎜⎟⎝⎠==所以仅能传播10TE模。波导波长为：201gcffλλ=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠波阻抗：201TEcZffη=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠相速：22pvaωωβπωμε==⎛⎞−⎜⎟⎝⎠(2)磁场强度为：01nHeEη=×GGG面电流密度：SnJeH=×GGG,