第六章 信号的矢量空间分析

16.3信号的正交函数分解一、二维空间的正交矢量两个正交矢量可构成一个平面空间，此空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。1、平面空间：若矢量则称这两个矢量正交。021AA2211ACACA2正交。则称321,,AAA332211ACACACA)(0jiAAji三个正交矢量可构成一个三维空间，此空间任意矢量可用这三个正交矢量表示。3,2,1;3,2,1ji2、三维空间：若矢量3二、正交函数在区间(t1tt2)内用函数f2(t)近似表示f1(t)..)()()(21212212121内为最小在区间误差数之间的方均使得实际函数与近似函选取tttcttttfctf212121)()()(0,)]()([122211212212222121122ttttttdttfdttftfcdcdcdttfctftt应有最小的使40)()(),(,)()(,02121212112ttdttftftttftfc:内正交的条件在称为正交.的分量内不包含则若函数正交条件：例题:p3266-16-22122212112)()()(ttttdttfdttftfc)()()(212121ttttfctf5三、正交函数集数集.则此函数集称为正交函即内满足正交特性,如在区间构成一函数集,个函数2121)()(0)()(),()(),(),(22121ttiittjinKdttgjidttgtgtttgtgtgn(6-55)6令任意函数f(t)在区间(t1,t2)内由这n个相互正交的函数的线性组合近似，表示式为：)(1)()(22)(11)(tnrrgrctngnctgctgctf为满足最佳近似，要求方均误差最小，即：方均误差可表示为：2121122])()([1ttnrrrdttgctftt02ic7(6-64)(6-62)])([121122122ttnrrrKcdttftt:2ε项数的在最佳近似条件下给定)(1)()(22)(11)(tnrrgrctngnctgctgctfdttgtfKdttgdttgtfcttiittittii2121221)()(1)()()(2121122])()([1ttnrrrdttgctftt02ic8212121])([1)()(1)(1221222ttnrrttiittiicdttfttdttgtfcKdttg归一化正交函数集：(6-67)(6-68)9四、复变函数的正交特性函数集.则此复变函数集为正交内在区间满足复变函数集),()()()(0)()(),...,2,1)}(({21**2121ttKdttgtgjidttgtgnrtgittiittjir106.4完备正交函数集.0lim])([1])()([1)()(),()(),...(),(21221221122121212121交函数集则此函数集称为完备正有若令n趋于无限大,方均误差为近似表示函数在如果用正交函数集:定义一nttrnrrttrnrrrrrnKcdttfttdttgctftttgctftttgtgtg11交函数集.则此函数集成为完备正为任意正整数满足条件即不存在有限能量函数如果在正交函数集:定义二)(0)()()(0),(,)(),...,(),(2121221idttgtxdttxtxtgtgtgttittn之外12定理1.若{f1(t)，…，fn(t)}在区间(t1，t2)上为完备正交函数集，则在(t1，t2)上任意函数f(t)可用表示为：用完备正交函数集表示任意信号(t)fC(t)fC(t)fC(t)fCf(t)nnkk221121221)()()(ttkttkkdttfdttftfC其中13定理2.若f(t)可用完备正交函数集{f1(t),f2(t)…，fn(t)}表示，则12221)(rrrttKcdttf（Parserval定理）物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。12221)(rrttcdttf(6-81)(6-82)141、三角交函数集常用完备正交函数集t)sin(nt),cos(n(t0，t0+T),1,2,n,02、指数函数集tjne,2,1,n,0(t0，t0+T)3、抽样函数集4、Walsh函数集]n-tTSa[(-，)(0，1),1,2,n,0,2,1,n,0t)Wal(n,15在区间内满足函数集.其中内是完备正交三角函数集在区间,2),(,......}sin,cos,...,2sin,2cos,sin,cos,1{11100111111TTtttntntttt10011001100)0()0()(0coscos)()0(0sinsin0sincos21121111TttTTttTTttnmTnmnmtdtmtnnmnmtdtmtntdtmtn16)()(0)(,2),(,......)2,1,0}({1001111*11100nmnmTdteeTTttneTtttjntjmtjn在区间内满足其中内是完备正交函数集.在区间复指数函数集