1.1.3三角形中的计算与证明

•1．掌握三角形的面积公式．•2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.•1．本节的重点是三角形中的几何计算．•2．利用正、余弦定理及三角函数公式解决一些综合题.1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝，A＋B2＝.(2)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝.(3)sinA＋B2＝，cosA＋B2＝.π22πCsinC－cosC－tanC2cosC2sinC知识储备2．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝.(2)a＝，b＝，c＝.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)sinA∶sinB∶sinC＝.2R2RsinA2RsinB2RsinCRa2Rb2Rc2a∶b∶c3．余弦定理及其推论(1)a2＝.(2)cosA＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为．b2＋c2－2bccosAbcacb2222直角钝角锐角4.1________________________12()()()()2.2ABCABCSSabcrppapbpcabcp三角形的面积三角形面积公式：其中是r三角形内切圆半径1sin2abC1sin2bcA1sin2acB•5．解三角形问题的类型•解三角形的问题可以分为以下四类：•(1)已知三角形的两角和任一边，解三角形．（用正弦定理）•(2)已知两边和它们的夹角，解三角形.（用余弦定理）•(3)已知三角形的三边，解三角形．（用余弦定理）•(4)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．•（可用正弦定理，也可用余弦定理，且可能有两解）例题讲解31,32ABCADBDABC例1：在中，BC=5,AC=4,cosCAD=，且求的面积.ABCDCDx设，则AD=BD解：=5-x在CAD中，由余弦定理可得2222cosACADACADCADCD222314(5)24(5)32xxx1x解得在CAD中，由余弦定理可得222128ACADACCDCDcosC=2137sin1()88C1137sin45228ABCSACBCC1574=1,3,sinABCbSaA变式练习：在ABC中，A60，则的值为_________.2393例2．△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c.求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.证明：sinA－BsinC＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sinAsinCcosB－sinBsinCcosA，由正弦定理可得:sinAsinC＝ac，sinBsinC＝bc，又由余弦定理可得：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosA＝b2＋c2－a22bc，代入上式得sinA－BsinC＝ac·a2＋c2－b22ac－bc·b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝2a2－b22c2＝a2－b2c2.∴等式成立．思考：本题可否从等式左边开始证明？如能，你有一些什么方法？•[题后感悟]三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．变式：在△ABC中，求证：c(acosB－bcosA)＝a2－b2.例3．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA，于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35，所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.[题后感悟]此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．•变式练习：已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解析：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，2222coscababA∴4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍去)．∴S＝12absinC＝12·4·sinπ3＝3.课堂总结