第4章 薄壁杆件弯扭屈曲

第4章薄壁杆件的弯扭屈曲任课老师：强士中卫星第4章薄壁杆件的弯扭屈曲薄壁杆件弯扭屈曲特点中心受压开口薄壁杆件的弯扭屈曲偏心受压开口薄壁杆件的弯扭屈曲×纯弯梁的侧向屈曲工字梁侧向屈曲的近似分析×4.1薄壁杆件弯扭屈曲特点屈曲形式：弯曲屈曲、扭转屈曲及弯扭屈曲基本假定：(1)屈曲时杆件仍处于弹性工作状态和小变形状态；(2)尽管杆件各截面可能产生垂直于截面的翘曲，但其在自身平面内的投影始终保持固定形状“横截面形状不变假设”；(3)荷载作用线的方向保持不变。4.2中心受压薄壁杆件的弯扭屈曲4.2.1平衡微分方程I.虚拟荷载法O—截面形心(0,0)；A—截面剪力中心(x0,y0)；屈曲后截面位移＝刚体平动＋绕剪力中心的转动如右图a)所示梁屈曲时平衡微分方程：如右图b)所示梁屈曲时平衡微分方程：将压杆的屈曲问题，比拟为在假想荷载作用下的挠曲问题。虚拟侧向荷载“虚拟荷载法”常截面开口薄壁杆件的弯曲和扭转微分方程：(1)EIw—截面翘曲刚度，GJ—圣维南扭转刚度。(2)将代入式(2)，得：(3)其中：将式(3)代入式(1)，得：(4)002000()()xxAyyAAqdqPuyqdqPvxmzdmzPyuxvPr222000xyIIrxyA002000000yyEIuPuyEIvPvxEIGJPrPyuPxvⅥⅥⅥPA若考虑残余应力的影响，截面上的法向应力：残余应力是自相平衡的应力体系：考虑残余应力的弯扭屈曲平衡方程式：(5)式中：(6)22rARxydA002000000yyEIuPuyEIvPvxEIGJPrRPyuPxvⅥⅥⅥ0rrrAAAdAxdAydArPAsII能量法薄壁杆件的应变能：(7)外力势能：(8)2200220011221122llyxllUEIudzEIvdzGJdzEIdzdVdAAVdA122222211122MMMMdsdudvdzuvdz22011122lMMsuvdz纤维缩短量：(9)将式(9)代入式(8)，可得：考虑到，则有：(10)杆件总势能：(11)22012lMMsluvdz22012lMMAAVdAuvdAdz22220000222lPVuvryuxvdz2222022220000121222lyxlUVEIuEIvGJEIdzPuvryuxvdzPA(12)由变分法可知，弹性体系处于平衡状态的条件：(13)0222222000FdFdFudzudzuFdFdFvdzvdzvFdFdFdzdz0,,,,,lFuuvvdz4.2.2中心受压开口薄壁杆件弯扭屈曲临界荷载双轴对称截面剪力中心与截面形心重合，x0=0，y0=0由式(4)得：(14)由式(5)得：(15)20000yyEIuPuEIvPvEIGJPrⅥⅥⅥ222222201xExyEyEEIPlEIPlEIPGJrl20000yyEIuPuEIvPvEIGJPrRⅥⅥⅥ222222201xExyEyEEIPlEIPlEIPGJRrl非对称截面两端铰支杆，位移函数可用正弦函数表示：(16)满足边界条件：将式(16)代入式(5)，可得：(17)其中：sinsinsinzuAlzvBlzCl00200000000EyExEPPPyAPPPxBCPyPxPPr222222201xExyEyEEIPlEIPlEIPGJRrlA、B、C不全为0，则式(17)中系数行列式须等于零：所以：(18)方程的3个根中最小者即屈曲临界荷载讨论：1)2)结论：非对称截面开口薄壁杆件的弯扭屈曲临界荷载总是小于纯弯曲屈曲和和纯扭转屈曲临界荷载中的最小者。002000000EyExEPPPyPPPxPyPxPPr222220000ExEyEExEyrPPPPPPPyPPPxPPExEyEPPP123ExEyEPPPPPPEExEyPPP123EExEyPPPPPP单轴对称截面y为对称轴，则x0=0，由式(18)可得：解之得：(19)令：则：(20)结论：单轴对称截面开口薄壁杆件可能在截面对称平面内发生弯曲屈曲或者离开对称平面发生弯扭屈曲。222000ExEyEPPPPPPPyr212xExEIPPl224222000002,3220042EyEEyEEyEPPrPPrPPrryPry2221022yEEyPIGJRsrPAlE222222222220210100022211122yEAEAPsrsrrysss4.3偏心受压薄壁杆件的弯扭屈曲偏心弯矩：，(21)(22)xxMPeyyMPeyxMxyMxMyPAII式中：(23)将式(21)(22)(23)代入式(1)，可得：(24)对于两端铰支杆，将式(16)代入式(24)，可得：(25)A、B、C不全为0，则式(17)中系数行列式须等于零：所以：(26)002000000002EyxEyyxyExyyxPPPyeAPPPxeBCPyePxerPPPeaea0020000002EyxEyyxyExyyxPPPyePPPxePyePxerPPPeaea2022220020ExEyExyyxExxEyyPPPPrPPPeaeaPPPyePPPxe非对称截面若P作用于剪力中心，ex=y0，ey=x0，式(26)可简化为：解之得：2020ExEyExyyxPPPPrPPPeaea21222220320002xExyEyEyxEIPPlEIPPlrPPrxaya双轴对称截面x0=0，y0=0，ax=0，ay=0若P作用于y轴，ey=0，式(26)可简化为：单轴对称截面若P作用于对称轴y轴，x0=ey=ax=0，式(26)可简化为：22200ExEEyxPPrPPPPPe212xExEIPPl22422200002,322042EyEEyEEyExxPPrPPrPPrrePre2220020ExEyExyxPPPPrPPPeaPye4.4纯弯梁的侧向屈曲如图所示一纯弯简支梁发生侧向屈曲后的变形状态。oxyz为固定坐标系为移动坐标系内力关系：由式(1)得：(27)ocoscoscossinsinxxxxxxxMMMMMMduMMMMudzxxyxxEIvMEIuMEIGJMuⅥ由式(27)可得：若考虑残余应力得影响：简写为：(28)式中：(29)式(28)的通解为：(30)简支梁的边界条件：z=0和z=l，(31)20xyMEIGJEIⅥ20xyMEIGJREIⅥ120kkⅥ1GJRkEI222xyMkEII1122cshshsincosAazBazCazDaz2112142kkka2112242kkka0,02212112222221111222200cshshsincos0cshshsincosADAaDaAalBalCalDalAaalBaalCaalDaal式(31)，可写为：要得到非零解，系数行列式应等于零：(32)将式(32)展开，可得：(33)“纯弯简支梁侧倾临界方程”2212112222221111222210010000cshshsincos0cshshsincos0AaaBalalalalCaalaalaalaalD2221212shsin0aaalal221211222222111122221001000cshshsincoscshshsincosaaalalalalaalaalaalaal式(33)的解：(34)得到通解：(35)将式(35)代入式(27)中第二式，可得：由式(34)(29)(30)，可得纯弯简支梁侧倾临界弯矩：(36)取n=1，则：(37)120sin0aal00ABCDABDsinnzCl222sinxyCMlnzunEIl2222221yxcryGJRnEIIlMlInEI22221yxcryGJREIIlMlIEI其他支承情况（符拉索夫）：(38)22221yxcryyGJREIlIMlIEI对于矩形截面纯弯梁，翘曲刚度可以略去，式(27)变为：(39)将式(39)中第二、三式联立，可得：即：式中：解之得：由边界条件，可得：EIxxyxxEIvMEIuMGJMu0yEIGJMM22yMkEIGJ20ksincosAkzBkz000zzl时时0sin0BAkl则：取n=1，(40)矩形截面梁纯弯曲时临界力矩。klnkl222xyMEIGJlxycrMEIGJl4.5工字梁的侧向屈曲4.5.1简支工字梁受均布荷载作用绕η轴的弯矩：(41)式中：绕ζ轴的弯矩：(42)xMM222xMqlzqzMMMM①②③xduMMdz①001122llMqluqudzqadz②0ZccMquuadc③0001122llZxccduMMqluqudzqadzquuadcdz将式(41)(42)代入式(27)，则有：(43)(44)将式(44)对z微分一次，注意到：00001