知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(提高)

空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.6.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一、空间向量1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释：⑴空间的一个平移就是一个向量。⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb。空间向量的定义与运算空间向量运算几何意义空间向量的坐标表示及运算应用空间向量的运算解决立几问题证明平行、垂直求空间角与距离3.向量的数量积（1）定义：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。（2）空间向量数量积的性质：①||cos,aeaae；②0abab；③2||aaa．（3）空间向量数量积运算律：①()()()ababab；②abba（交换律）；③()abcabac（分配律）。4.空间向量基本定理如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233abababab，112233//,,()ababababR，1122330abababab；222123||aaaaaa，222123||bbbbbb．夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．（3）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz或222,212121()()()ABdxxyyzz。要点二、空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用0abab进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos||||abab。要点诠释：平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为||arccos||||abab。（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，AB是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的角为||arcsin||||ABnABn（如图）。二面角的求法：设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则121212,arccos||||nnnnnn就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3.用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为||||ABnn（如图）。要点诠释：⑴点A到平面的距离：||ABndn，其中B，n是平面的法向量。⑵直线a与平面之间的距离：||ABndn，其中,AaB，n是平面的法向量。⑶两平行平面,之间的距离：||ABndn，其中,AB，n是平面的法向量。【典型例题】类型一、空间向量的运算【例1】已知AB=（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量。【答案】单位法向量0||nnn=±（31，－32，32）.【解析】设面ABC的法向量(,,)nxyz，则n⊥AB且n⊥AC，即00nABnAC，即2204530xyzxyz，解得2,,xzyz，令1x，则(1,2,2)n∴单位法向量0||nnn=±（31，－32，32）.【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。举一反三：【变式】若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5)（1）若//3kabab，求实数k的值；（2）若3kabab，求实数k的值；（3）若bak取得最小值，求实数k的值。【答案】(1)//3kabab3kabab设，即(2,53,5)(7,4,16)kkk由27534516kkk，解得13k；(2)3kabab，30kabab(2,53,5)(7,4,16)0kkk，即31060k，解得1063k；(3)kab2222(2)(53)(5)271638kkkkk当827k时，kab取得最小值。类型二：向量法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点NMABDCO（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。【解析】作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系xyzNMABDCOP22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPOD设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,0nOPnOD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n22(1,,1)(0,4,2)044MNn∵MNOCD平面‖(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,,1)22ABMD∵1cos,23ABMDABMD∴∴,AB与MD所成角的大小为3(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值,由(1,0,2)OB,得23OBndn.所以点B到平面OCD的距离为23【总结升华】1.用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．2.用向量法证垂直问题：(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．举一反三：【变式】如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.【解析】如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．(1)取AB中点为N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴DE→＝(－2，4，0)，NC→＝(－2，4，0)，∴DE→＝NC→.∴DE∥NC，又NC在平面ABC内，DE不在平面ABC内，故DE∥平面ABC.(2)B1F→＝(－2，2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2，2，0)，B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，则B1F→⊥EF→，∴B1F⊥EF，∵B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F→⊥AF→，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.类型三：异面直线所成的角【例3】正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,求直线PQ与AD所成的角新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【答案】90°【解析】建立空间直角坐标系如图，则(,0,0)Aa，(,,0)Daa22(0,,)22Qaa,22(,,0)22Paaa∴22(,0,)22QPaaa,(0,,0)ADa，∴0QPAD∴QP与AD所成的角为90°。【总结升华】建立坐标系后，求出||||PQADPQAD及，，可由cos||||PQADPQAD求解。举一反三：【变式】如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2（1）11BD与1AD能否垂直？请证明你的判断；（2）当111ABC在[,]32上变化时，求异面直线1AC与11AB所成角的取值范围。【答