八年级数学反比例函数教案

9.1反比例函数教学目标：1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系.教学重点：理解反比例函数的概念。.教学难点：感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型.教学过程：1、情境创设：在速度v，时间t与路程s之间满足vts：（1）如果速度v一定时，路程s随时间t的增大而增大，路程s与时间t就成正比例关系。且对于时间t的每一个值，路程s都有唯一的一个值与它对应，它又是函数关系。因此，如果速度v一定时，路程s是时间t的正比例函数.（2）如果时间t一定时，那么路程s与速度v又是什么关系呢？（3）如果路程s一定时，那么速度v和时间t又是什么关系呢？[反比例关系：如果两个量x、y满足xyk（k为常数，k≠0），那么x、y就成反比例关系]，是函数关系吗？2、探索活动：活动一：汽车从南京出发开往上海（全程约为300km），全程所用的时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.（1）你能用含有v的代数式表示t吗？300tv（2）利用（1）中的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？速度变大，时间减小；速度变小，时间增大。（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？活动二：（1）利函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：①一个面积为6400㎡的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化；函数关系式6400ab②某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；函数关系式20yx③实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化；函数关系式200mn④一名工人加工80个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时)的变化而变化.函数关系式80yx（2）交流：函数关系式：6400ab、20yx、200mn、80yx具有什么共同特征？定义：一般地，形如kyx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数.①反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.②反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数.③指出上述4个反比例函数的比例系数.例1、下列关系中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？（1）4yx；（2）12yx；（3）1yx；（4）1xy；（5）2xy（6）13yx；（7）21yx练习：课本78页注：kyx（k为常数，k≠0）可以写成1ykx（k为常数，k≠0）.例2、已知函数22(1)mymx是反比例函数，求m的值。练习：已知函数||2(1)ayax是反比例函数，求a的值。（2）思考：①你还能举出反比例函数的实例吗？练习：课本78页1②对于反比例函数20yx，它还能表示什么其它的实际意义？3、小结与思考小结（略）思考：反比例函数kyx（k为常数，k≠0）的自变量x的取值范围为不等于0的实数。但在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围往往受到限制，比如：（1）一名工人加工80个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时)的变化而变化，函数关系式为80yx。求该函数的自变量范围。（2）一个面积为6400㎡的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，函数关系式为6400ab。求该函数的自变量的范围。（长是大于宽的）4、布置作业：课本79页习题9.11、2补充：1、若y与x成反比例，且x=-3时，y=7,则y与x的函数关系式是。2、已知y-3与x+2成反比例，且x=2时，y=7,求（1）y与x的函数关系式。（2）求y=5时，x的值。9.2反比例函数的图象与性质（1）新知导读1．画函数xy2的图象，首先应列出x、y的一些对应值，不列表你能知道横坐标x与纵坐标的符号之间有何关系吗？答：符号相同。2.已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=2时x的值;(3)在直角坐标系内画出(1)小题中函数图象的草图.答：（1）y=x6；（2）—3；（3）图略，位于二四象限的双曲线。范例点睛例1．如果P（a，b）在xky的图象上，则在此图象上的点还有（）A．（-a，b）;B．（a，-b）;C．（-a，-b）;D．（0，0）思路点拨：（1）可以从xy=k发现，横纵坐标之间的关系，由ab=k，而C选项（—a）（—b）=k，选C。（2）或者根据双曲线的特征，它是关于原点对称的，则图象上每个点关于原点的对称点也在图象上，从而选C。易错辨析：注意双曲线是不经过原点的。例2．如图，已知P是双曲线xy2000上的任意一点，过P分别作PA⊥x轴，PB⊥y轴，A，B分别是垂足，（1）求四边形PAOB的面积。（2）P点向左移动时，四边形PAOB的面积如何变化？思路点拨：先利用双曲线设出P点的坐标，再转化为线段PA，PB的长度，通过计算得出面积。易错辨析：从坐标转化为线段长，注意加上绝对值。方法点评：（1）设P（a,a2000），则PA=|a2000|，PB=|a|，四边形PAOB的面积S=PA·PB=|a2000|·|a|=（—a2000）（—a）=2000。（2）面积不变。课外链接有一游泳池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的话，则经过y小时可以把水放完。写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，画出函数图象。易错辨析：自变量的范围是x0，注意x的范围不是0x12；函数图象是双曲线的一支，只有第一象限。随堂演练1．已知y与2x—1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________.2.若函数y=(m-1)22mx是反比例函数,则m的值等于()A.±1B.1C.3D.-13．一次函数12xy与反比例函数xy4的图象交点的个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无数个4．已知P为函数y＝x2图像上一点，且P到原点的距离为2，则符合条件的点P数为()A.0个B.2个C.4个D.无数个5．分别在坐标系中画出它们的函数图象。（1）y＝x21（2）y=x36．已知x,y满足xy=-4,用x的代数式表示y,并画出函数图象.7．反比例函数kyx的图象经过点（-2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？8．已知三角形的面积为24c2m,任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围,画出图象.9．已知反比例函数y=ax和一次函数y=kx+b的图象都经过(2,-1),(1,c)两点,求这两个函数的解析式10.已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=5kx的图象相交,其中一个交点纵坐标为-4,求k。9.2反比例函数的图象与性质（2）新知导读1.写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数的解析式是________.答：答案不唯一，比例系数小于0。2．点A(-2，y1)与点B(-1，y2)都在反比例函数y＝-x2的图像上，则y1与y2的大小关系为()A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1＝y2D.无法确定答：A。范例点睛1.已知反比例函数y=kx(k≠0)与一次函数y=x的图象有交点,则k的范围是______.思路点拨：因为y=x经过一三象限，则反比例函数经过一三象限，k0。课外链接1．若点(3,4)是反比例函数y=221mmx图象上一点,则此函数图象必经过点()A.(2,6)B.(2,-6)C.(4,-3)D.(3,-4)思路点拨：（1）反比例函数是关于原点的中心对称图形，它必定经过（—3，—4），但没有这个选项。（2）若把（3，4）代入解析式，发现目前无法计算出m的值。（3）最后可以根据（3，4），确定反比例函数的比例系数一定是12，横纵坐标的乘积必定为12，从而选择A。随堂演练1．已知反比例函数xmy23，当______m时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当______m时，其图象在每个象限内y随x的增大而减小。2．若反比例函数xky3的图象位于一、三象限内，正比例函数xky)92(过二、四象限，则k的整数值是________。3．在同一直角坐标系内，函数y=2x与xy8的交点坐标为____________。4．已知P（1，m2+1）在双曲线xky上，则双曲线在第_________象限，在每个象限y随x的增大而________.5．如果反比例函数kyx在每个象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限6.反比例函数y=3kx的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大,那么k的取值范围是()A.k≤-3B.k≥-3C.k-3D.k-37.下列函数中,当x0时,y随x的增大而增大的是()A.y=2-3xB.y=2xC.y=-2x-1D.y=-12x8．已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数kbyx的图象在（）A.第一、二象限;B．第三、四象限;C．第一、三象限;D．第二、四象限.9.下列函数中,图象大致为如图的是()A.y=1x(x0)B.y=1x(x0)C.y=-1x(x0)D.y=-1x(x0)10．已知圆柱体的侧面积为80cm2,若圆柱底面半径为r(cm),高线长为h(cm),则h关于r的函数的图象大致是()11．若0ab，则函数axy与xby在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）12．反比例函数的图象过点（2，—2），求函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？y随x的减小如何变化？请画出函数图象，并判断点（—3，0），（—3，—3）是否在图象上？13．若反比例函数y=24212mxm的图象经过第二、四象限，求函数的解析式。14．如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点A是图象上的任意一点,AM⊥x轴于M,O是原点,若S△AOM=3,求该反比例函数的解析式,并写出自变量的取值范围.15．已知反比例函数xky图象与直线xy2和1xy的图象过同一点。（1）求反比例函数；（2）当x＞0时，这个反比例函数值y随x的增大如何变化？9．2反比例函数的图象与性质（3）新知导读1．点P，Q在y=x3的图象上（1）若P（1，a），Q（2，b），比较a，b的大小；（2）若P（—1，a），Q（—2，b），比较a，b的大小；（3）你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？（4）若P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2,你能比较y1与y2的大小吗？思路点拨：通过图象来确定。方法点评：（1）ba；（2）ab;（3）在每个象限内，y随x的增大而增大；（4）当位于同一分支上时，y1y2；当位于不同分支上时，y1y2.范例点睛OAMxy1．如图是三个反比例函数xkyxkyxky321,,在x轴上方的图象，由此观察k1、k2、k3得到的大小关系为()A．k1k2k3B．k2k3k1C．k3k2k1D．k3k1k2思路点拨：（1）从反比例函数经过的象限，首先判断k10,k20,k30;（2）只需比较k2与k3之间的大小关系，取同一个自变量如x=1时，在图象上找到对应的点，通过图象比较此时纵坐标的大小，根据反比例函数解析式，纵坐标大，则比例系数大，k2k3。课外链接1．已知点P(1,a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数的图象在第______象限.思路点拨：因为m2+2m+30，则a0，点P(1,a)在图象上，则k0，在一、三象限。2.（1）如图（1）,A、C分别是反比例函数y＝x1图象上两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系是()A.S1S2B.S1=S2；C.S1S2D.不能确定（2）如图（2），A，B是函数y＝x1的