八年级数学培优专题讲解《勾股定理》

1八年级数学培优专题讲解《勾股定理》【培优图解】【技法透析】勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和证明等．2．勾股数的推算公式①若任取两个正整数m、n(mn)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一组勾股数．②如果k是大于1的奇数，那么k，212k，212k是一组勾股数．③如果k是大于2的偶数，那么k，212k，212k是一组勾股数，④如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc(n是正整数)也是勾股数．3．创设勾股定理运用条件当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．2【名题精讲】考点1运用勾股定理解有关＂折叠＂问题例1如图，折叠长方形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．【切题技巧】由图形易知△ADF≌△AFE，从而AD＝AF，DE＝EF．先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的长．【规范解答】【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用．【同类拓展】1．把一张长方形纸片(长方形ABCD)按如图17－2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是_______cm2．考点2运用勾股定理的逆定理求角度例2如图，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形内部，试求∠APB的度数．【切题技巧】【规范解答】3【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形．能够使用旋转法的条件是旋转后的图形与原图形有边相等能够重合．2．如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数．考点3求立体图形中的两点之间的最短距离例3如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B'点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm．【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解．【规范解答】4【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、正方体、圆柱、圆锥等．在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置．同时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案．【同类拓展】3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和lcm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少？考点4勾股定理反其逆定理的综合运用例4如图所示，正方形ABCD中，E是AD中点，点F在DC上，且DF＝14DC，试判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与EF垂直的直观印象．若直接证明BE与EF垂直，则十分困难．若连接BF，设DF＝a，利用勾股定理及其逆定理证明△BEF为直角三角形，得到BE⊥EF．【规范解答】BF和EF的位置关系是：BE⊥EF．【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，两者相辅相成．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：BD2＝AB2＋BC2．5考点5勾股定理在实际问题中应用例5如图(1)，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持4米，从A处往B处，经过两座桥：DD'、EE'．设护城河是东西——南北方向的，A、B在东西向相距64米，南北方向相距84米，恰当地架河可使AD、D'E'、EB的路程最短，这个最短距离是_______米．【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解．【规范解答】如图(2)，作AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，则折线ADD'E'EB的长度等于折线AA，D'E'B'B的长度，即等于折线A'D'E'B'的长度＋AA'＋BB'．而折线A'D'E'B'以线段A'B'最短，故题目所求最短路程S＝A'B'＋8，而A'、B'在东西方向上相距为64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）由勾股定理可知，A'B'＝226080＝100(米)，S＝108（米）【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定理计算求解．5．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_______cm．（精确到个位，参考数据：2＝1.4，3＝1.7，5＝2.2）．考点6勾股定理与函数的综合问题例6如图①，在平面直角坐标系中，双曲线y＝4x与直线y＝4x交于点A、B．(1)求AB的长．(2)若点P是第一象限双曲线上一动点，如图②所示，BC⊥AP于点C，交x轴于点F，AP交y轴于点E，试判断222AEBFEF的值是否为定值？并加以证明．6【切题技巧】(1)因为A、B为双曲线与直线的交点，所以只需将两个已知函数的解析式成方程组，它们的解即交点A、B的坐标．(2)从结论222AEBFEF入手，联想勾股定理，通过作辅助线将AE、BF、EF这三条线段转移到同一直角三角形中．【规范解答】【借题发挥】(1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角三角形中则应添加辅助线，将分散的线段集中在同一直角三角形中，本题还可以过点B作BN∥AE交y轴于点N，将三条线段收集在Rt△BNF中，如图17－11③所示．(2)利用“中点”能构成多种辅助线，要根据题目的需要进行构造．【同类拓展】6．已知△OMN中，OM＝ON，∠MON＝90°，点B为MN的延长线上一点，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于点A．(1)如图①所示，①求证：∠CMB＝90°；②求证：AM2＋BN2＝AB2；(2)如图②，在条件(1)上，过A作AE⊥OM于E，过B作BF⊥ON于F，EA、BF的延长线交于点P，则PA、AE、BF之间的数量关系为_______；△AME、△PAB、△BFN的面积之间的关系为_______．(3)如图③，在条件(2)下，分别以OM、ON为x轴和y轴建立坐标系，双曲线y＝kx经过点P，若MN＝22，求k的值．7参考答案1.5.12.150°3.13cm4.略5.26.(1)略(2)(2)AE2+BF2=PA2.S△AME+S△BFN=S△PAB.