大学微积分l知识点总结(一)

1大学微积分l知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式：ab2baab2ba223abc3cbann21n21...aaana...aaabc3cba3332ba2baabb1a1222babab-ann21n21n21nx...xxyppx...xxx...xxy的最大值为：则为常数，且扩展：若有柯西不等式：设a1、a2、...an，b1、b2、...bn均是实数，则有：22221222212nn2211......aaba...babannbbba时取等号为常数，当且仅当，n...3,2,1ibaii2、函数周期性和对称性的常用结论1、若f（x+a）=±f（x+b），则f（x）具有周期性；若f（a+x）=±f（b-x），则f（x）具有对称性。口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），则T=|b-a|（2）若f（x+a）=-f（b+x），则T=2|b-a|（3）若f（x+a）=±1/f（x），则T=2a（4）若f（x+a）=【1-f（x）】/【1+f（x）】，则T=2a（5）若f（x+a）=【1+f（x）】/【1-f（x）】，则T=4a3、对称性（1）若f（a+x）=f（b-x），则f（x）的对称轴为x=（a+b）/2（2）若f（a+x）=-f（b-x）+c，则f（x）的图像关于（（a+b）/2，c/2）对称引申双向不等式：两侧均在ab≥0或ab≤0时取等号24、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。（1）若f（x）的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。（2）若f（x）的图像有两个对称中心（a，0）和（b，0），（a≠b），则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。（3）若f（x）的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心（b，0），（a≠b），则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。3、三角函数lnsin正弦lmcos余弦mntan正切nmcot余切mlsec正割nlcsc余割倒数关系：cot1tancsc1sinsec1cos商的关系：cscsectancossinseccsccotsincos平方关系：1cot11tan11cossin2222平常针对不同条件的两个常用公式：1cottan1cossin22一个特殊公式：-sinsinsin-sinsinsin二倍角公式：AAAAAAAAAA2222tan-1tan22tansin2-1sin-cos2coscossin22sinLmnα3半角公式：sinacosa1cosa-1sina2acotsinacosa-1cosa1sina2atancosa1212acoscosa-1212asin22三倍角公式：a-3tana3tantanaa3tana-3cosa3coscosa4a3cosa-3sina3sinsina4a3sin万能公式：2atan-12atan2tana2atan12atan-1cosa2atan12atan2sina2222两角和公式：tantan1tan-tan-tantantan-1tantantansinsincoscos-cossinsin-coscoscossincos-cossin-sinsincoscossinsin和差化积公式：421-cos21sin2sinsin21-sin21cos2sin-sin21-cos21cos2coscos21-sin21sin2-cos-cosBABABABABAtantan1tancoscossintantantanBtanA1B-AtancoscosA-sintan-tanBBABA积化和差公式：21-sinsincossin21-coscoscoscos21-cos-cos-sinsin口诀：奇变偶不变，符号看象限原式得证，，由题，证：设，其中证明：222222baxxbcosxasin1xbxasinxbcosxaxbsinacossinxbsinacosbatansinbabsinacoaMMAAAAMAAAMMAAA4、数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。例如：前n个奇数的总和是n2，那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成：①递推的基础：证明当n=1时表达式成立5②递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立（1）第一数学归纳法①证明当n取第一个值n0时命题成立，n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况②假设n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立（2）第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题P（n）①验证n=n0时P（n）成立②假设n0≤n＜k时P（n）成立，并在此基础上，推出P（k+1）成立（3）倒推归纳法①验证对于无穷多个自然数n命题P（n）成立②假设P（k+1）成立，并在此基础上，推出P（n）成立（4）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题①验证n=n0时P（n）成立②假设P（k）（k＞n0）成立，能推出Q（k）成立，假设Q（k）成立，能推出P（k）成立。5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项展开式，即（a+b）n的展开式nnnkk-nkn1-n1nn0nnb...ba...baaCbaCCC称为二次项系数其中knC表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1kkk-nkn1kbaTCk1k-nk1-k1-k-n...1-nn1-knknCC！其中，7、高等数学中代换法运用技巧①倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法②增量代换若题目中已知x＞m，则引入辅助元x=m+a（a＞0），再将辅助元代入题中解题。6此种代换方法称为“增量代换法”③三角代换222222axxaax、、④双代换nnnyxlim8、其他一些知识点（1）0不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数和0（2）正偶数称为“双数”（3）正常数：常数中的正数（4）质数：又称“素数”。一个大于1的自然数，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质（素）数是2。1既不是素数，也不是合数。（5）exp：高等数学中，以自然对数e为底的指数函数（6）在数学符号中，sup表示上界；inf表示下界（7）≡：表示恒等于（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n！=n（n-1）！因为1的阶乘为1，即1！=1×0！，故0！=1【第二部分】函数与极限常用结论（等价无穷小很重要）nx1x1nxn11x1n1x1ex时成立＜1xx1ex-11xxlnx1xx1en11n＜e1n1-1n＜：引入两个辅助元进行代换7其中，en11n，e为初等函数，又称“幂指函数”，e即根据此公式得到，e≈2.7181n1-1n261n21nnn...21222233321nnn...211-aa-asa...aas1nn21-n2-n1-nnnb...baab-ab-a1-m2-m1-mm1m1b...baab-ab-abxvxxxxxxaxulimbabxvlim0axulim000，则为常数、，＞若exf1xf1一些重要数列的极限：xlnx1x1-exxlna1-axx1-x1xarcsinxxarctanx另一些重要的数列极限：0k0n1limkn＞为常数＜1q0qlimnn1a1alimnn＞为常数！a0nalimnn1nlimnnxsinx0x时，xtanx2x21cosx-1列举一些趋向于0的函数：80lnn10na1a0c-nb0b0a0q1qbnan④，＞③，＞，＞②，＜①柯西极限存在准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在这样的正整数N，使得当m＞N，n＞N时就有|xn-xm|＜ε。这个准则的几何意义表示，数列｛Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件：①左右极限存在；②左右极限相等【极限计算的技巧总结（不包含教材介绍的方法以及公式）：】（1）洛比达法则设函数f(x）和F(x）满足下列条件：①x→a时，limf(x)=0,limF(x)=0;②在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;③x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))（2）等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式，如x—∞，令t=1/x无穷小的概念：①高阶无穷小：当Alim=0时，如果lim（B/A)=0,就说B是比A高阶的无穷小②低阶无穷小：当Alim=0时，如果lim（B/A)=∞,就说B是比A低阶的无穷小③如果lim（B/A)=K（K≠0,1），就说B是A的同阶非等价无穷小④等价无穷小：lim（B/A）=1，就说B为A的等价无穷小（3）斯托尔茨定理设数列ny单调增加到无穷大，则11limlimnnnnnnnnyyxxyxaxgfxgfxfxxxx00limlim)().4(是连续函数：（5）求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。（6）分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷92c411limlim,lim(limlim,2411lim,...711