大学微积分总复习课件

需熟悉的内容(特别是三角函数)第一部分初等函数一、基本初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy2xyxyxy11)1,1(xy12.指数函数)1,0(aaayxxeyxayxay)1()1(a)1,0(3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(xaxyyalog4.三角函数正弦函数xysinxysino(注意：x用弧度表示)xycosxycos余弦函数o正切函数xytanxycot余切函数正割函数xysecxysecoxycsc余割函数xycsco三角函数常用公式(前5个必须记下来);cos/1sec;sin/1csc)1(xxxx)(cscsec1)(cottan)3(;1cossin)2(222222xxxxxx;1cos2sin21sincos2cos)4(2222xxxxx;cossin22sin)5(xxx;2cos2cos2coscos)7(yxyxyx)];sin()[sin(2/1cossin)9(yxyxyx)];sin()[sin(2/1sincos)10(yxyxyx;2cos2sin2sinsin)6(yxyxyx;2sin2sin2coscos)8(yxyxyx)];cos()[cos(2/1coscos)11(yxyxyx)];cos()[cos(2/1sinsin)12(yxyxyx5.反三角函数:xyarcsinxyarcsin反正弦函数oyxxysinarcsin]2,2[y规定xyarccosxyarccos反余弦函数o],0[y规定xyarctanxyarctan反正切函数o)2,2(y规定幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarco),0(y规定第二部分函数与极限单侧极限.)(;)()(lim0000的变化趋势时的一侧接近从但有时我们只需考虑当为极限均以，以任何方式接近是指无论xfxxxAxfxxAxfxx左极限:);xx()(lim00此时Axfxx右极限:);xx()(lim00此时Axfxx定理.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00极限存在的充要条件是左极限等于右极限.无穷大包括：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或无穷大量与无穷小量的关系两个重要极限;1)()(sinlim10xfxf某过程.))(1(lim2)(10exfxf某过程则中的无穷小或如为某过程设,)xax()(xf；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地，低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(.,0,0lim)4(无穷小阶的的是就说如果kkCk，0lim20xxx，22lim0xxx;02高阶的无穷小量是比时，即当xxx).0()(2xxox．是同阶无穷小与时，当xxx20例如,常用等价无穷小:：以下函数是等价无穷小时当,0x.21~cos1,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sin2xxxexxxxxxxxxxxxx21~11xnxn1~11xx~1)1(注1.上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握都成立换成将0)(.2xfx函数连续点的等价定义)()(lim)(000xfxfxxfxx连续在0)]()([lim000xfxfxx0lim0yx.)()(00处既左连续又右连续在函数处连续在函数xxfxxf第一类间断点oyx0x可去型oyx0x跳跃型第二类间断点oyx0x无穷型oyx振荡型闭区间上连续函数的性质定理1(最值和有界性定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.故该函数在闭区间内一定是有界函数.定理2(零点定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba，使0)(f..),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxf定理3(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点，使得Cf)()(ba.推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.三个定理的应用：注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理,再利用介值定理;20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数,再利用零点定理.辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x;（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x),则F(x)即为所求.区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间.总结：求极限的方法1.求连续函数的极限：直接代入法;2.求x趋于点a时分式的极限，先判断分母的极限：(1)分母极限不为0，直接代入点a得分式极限；(2)分母极限为0,分子极限不为0,原极限为无穷大；(3)分子和分母的极限都为0,采用洛比塔法则求原极限.3.求两个根式相减的极限时，先有理化.有时可转化为两个重要极限来求.4.若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小.第二部分一元函数微分学xxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx一、导数的定义注意:.)()(.100xxxfxf2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.★单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx2.右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx★函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等函数)(xf在点0x处连续.例.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy导数的几何意义oxy)(xfy0xT)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxfM,0)(0且有限时若xf).)((000xxxfyy的切线方程为过))f(x,(x00法线方程为).()(1000xxxfyy,0)(0时当xf切线方程为)(0xfy法线方程为0xx,)(0时当xf切线方程为0xx法线方程为)(0xfy注1.链式法则——“由外向里，逐层求导”.2.注意中间变量.推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数求导的方法二、隐函数及其导数0),(yxF隐函数因变量与自变量的对应法则用一个方程表示的函数.即方法：对隐函数直接求导.注意此时y=y(x),只要方程中某项含有y,则求导后这一项一定含有).('xy先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算.--------对数求导法.)()(的情形函数开方和幂指多个函数相乘、乘方、xvxu微分的定义))(0较小（xxyxxfyx的微分。对的微分或称为在点称为xyxxf0)(.'.0dxyxydydyxxxx即记作)()(0xoxxfy由公式.高阶的无穷小的差是比与xdyy会求函数的微分,微分与可导的关系，一阶微分形式不变性。.拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))((')()(abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成洛比塔法则•适用范围：即：函数之比的极限等于导数之比的极限.式。这两种类型的其他未定为型未定式，或者可转化型未定式，00注意：洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等.单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA导数为正，则函数单调增；导数为负，函数单调减.利用单调性证明不等式①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项),使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x)②求)(xf验证f(x)在指定区间上的单调性③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.注：有时无法判别的符号，则可先讨论的符号，再转到上述第二步.)('xf)(xf曲线凹凸性的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA函数的二阶导数大于0,曲线为凹函数；若小于0,则为凸函数.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:);()1(xf求二阶导数;)(0)()2(不存在的点和求xfxf.)()3(的符号考察在候选点左右两侧xf求极值的步骤:);()1(xf求导数).(0)()2(极值的候选点的点的点）和导数不存在求驻点（即xf.)(0,)(.)()3(值点或极大则该点为极小或小于大于在，且二阶导数的值如果在该点二阶导数存是否异号考察在候选点左右两侧xf求最值的步骤:);()1(xf求导数;)2(点求驻点和导数不存在的（3)如果已知最值存在，比较在端点、驻点和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在整个定义域上函数的一（二）阶导数的符号来判断.导数及最值在经济学中的应用•1.成本函数,收入函数,利润函数•2.边际分析•3.弹性•4求最大利润，最小平均成本等最值问题要求:会求各种函数,并理解相应的经济意义；会求经济学中的最值问题。一元函数积分学第三部分一、原函数与不定积分的概念如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内的原函数.任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分