矢量代数基础

理论力学矢量代数基础1.矢量的概念•标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以完全表示的量称为标量。•矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的量称为矢量。•矢量用粗斜体字母a表示，在图中表示为一有向线段。矢量的大小称为它的模，表示为︱a︱，或a。•若一矢量的模等于零，则称这个矢量为零矢量，表示为0。在此情况下，无所谓它的方向。•模等于1的矢量称为单位矢量。aF2F1F3rVAAO矢量在图中的表示自由矢量与约束矢量•上述定义的矢量有时也称为自由矢量，物理学中应用的某些矢量有时还具有一些附加的特征，有的教材称这类矢量为约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。•定位矢量：矢量的作用点为一确定位置。•滑动矢量：矢量的作用点可以沿矢量的作用线自由滑动。2.矢量的加减法•矢量相等：指两个矢量的大小和方向完全相同。记为a=b•矢量相加：c=a+b遵从平行四边形法则或三角形法则。◆矢量相加的多边形法则AR=∑AiAR=∑AiAnA1+A2A1A2矢量相减归结为加法运算：c=a－b=a+(－b)•矢量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+aa+(b+c)=(a+b)+c矢量的数乘•实数λ与矢量a的乘积仍为矢量b=λa其中︱b︱=︱λ︱︱a︱λ0b与a同向λ0b与a方向相反矢量的数乘满足分配律λ(a±b)=λa±λb•任意矢量可表示为其模与同方向单位矢量的乘积：A=A(A/A)=AeA式中eA为A方向的单位矢量：eA=A/A.3.矢量的分解•平面矢量的分解设A1和A2是平面内任意两个线性无关（不共线）的矢量，则平面上任意矢量可表示为：B=λ1A1+λ2A2BOByBx正交分解B=Bx+By式中Bx⊥By•空间矢量的分解设A1、A2、A3彼此线性无关（三矢量不共面，且其中任意两个矢量均不共线），则任意矢量B可表示为B=λ1A1+λ2A2+λ3A3BBxByBz•正交分解B=Bx+By+Bz式中Bx、By、Bz相互正交。4.矢量的标积与矢量在轴上的投影•矢量A与B的标积也称为A与B的点乘，定义为A·B=︱A︱︱B︱cos(A,B)显然，矢量的标积是一个代数量。关于点乘的下列运算规律可由直接计算导出※A·B=B·A※A·(B+C)=A·B+A·C※λ(A·B)=(λA)·B=A·(λB)22A=A※A·A=※A⊥BA·B=0矢量在某轴上的投影设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N上的投影为An=A·en=︱A︱cos(A,en)注意矢量在轴上的投影An是一个代数量，正负号取决于A与en之间的夹角。AB=A·eBAθeBB矢量A在轴B上的投影:AB=A·eBBAθeAeB任意两个矢量A与B之间的夹角:cosθ=eA·eB合矢量投影定理设AR=∑Ai,用轴N上的单位矢量en点乘上式两边得en·AR=en·∑Ai=∑en·Ai因此ARn=∑Ain上式表明，合矢量在某轴上的投影等于各分矢量在同一轴上的投影的代数合。这一结论称为合矢量投影定理。5.矢量的矢积(叉乘)•矢量A与B的矢积为一矢量，记作C=A×B其定义为•大小︱C︱=︱A︱︱B︱sin(A,B)•方向C⊥A与B所决定的平面•指向由右手螺旋决定，换句话说A、B、C组成右手系C=A×B矢积的几何意义BAθ|B||A|sinθ•关于叉乘的运算规律•A×A=0•A×(B+C)=A×B+A×C•λ(A×B)=(λA)×B=A×(λB)•A×B=－B×A•A与B共线A×B=0⇔A×BB×A=－A×B•约束矢量对点的矩•作用于点P的定位矢量A对空间任意固定点O之矩定义为MO(A)=r×A式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的矢径。PQrMO(A)=r×A•注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不影响矩MO(A)的大小和方向，故上述定义对滑动矢量同样是有效的。6.矢量的混合积矢量A、B、C的混合积(A×B)·C为标量，其绝对值等于以A、B、C为棱边的平行六面体的体积。ABCA×Bh•轮换公式A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)•此外，显然有⇔A、B、C共面A·(B×C)=07.基矢量•沿空间直角坐标系Oxyz各坐标轴正向的单位矢量ex、ey、ez称为基矢量。•有时也用i、j、k表示基矢量。eyexezxyz•基矢量的正交性ex·ex=ey·ey=ez·ez=1ex·ey=ey·ez=ez·ex=0ex×ex=ey×ey=ez×ez=0ex×ey=ez,ey×ez=ex,ez×ex=ey以上结果可由直接计算得出。eyexez8.矢量的解析表达式◆任意矢量可表示成基矢量的线性组合A=Axex+Ayey+Azez式中Ax、Ay、Az分别为矢量A沿各坐轴的投影:Ax=ex·AAy=ey·AAz=ez·AAexeyez•问题:分量Ax与投影Ax的区别是什么?◆矢量代数运算的投影表达式设A=Axex+Ayey+AzezB=Bxex+Byey+Bzez•基本运算A±B=(Ax±Bx)ex+(Ay±By)ey+(Az±Bz)ezA·B=AxBx+AyBy+AzBzA×B=xyzxyzxyzAAABBBeee•合矢量投影定理若AR=∑Ai,则ARx=∑Aix,ARy=∑Aiy,ARz=∑Aiz•混合积的投影表达式A·(B×C)=xyzxyzxyzAAABBBCCC习题1.1求矢量A=2i－j＋k，B=i＋j＋2k，C=3i－2j＋4k之和的方向上的单位矢量。1.2若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算(A＋B)·(A－B)。1.3若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y。1.4若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求A＋C在B方向的投影。1.5一个三角形的三个顶点在A(2,3,1)，B(－1,1,2)，C(1,－2,3)，求从点B引向边AC的中线的长度，以及此中线与边BC的夹角。1.6若矢量A=2i－j＋k，B=i＋2j－3k，求︱(2A＋B)×(A－2B)︳。1.7求与矢量A=3i－2j＋4k和B=i＋j－2k所在平面垂直的单位矢量。1.8求三个顶点在A(2,－3,1)，B(1,－1,2)，C(－1,2,3)的三角形的面积。1.9求点(3,2,1)到由点(1,1,0)，(3,－1,1)，(－1,0,2)所确定的平面的最短距离。1.10若A=2i＋j－3k，B=i－2j＋k，C=－i＋j－4k，求(a)A·(B×C)，(b)C·(A×B)，(c)A×(B×C)，(d)(A×B)×C。答案1.1(6i－2j＋7k)／。1.224。1.3－4／3。1.417／3。1.5／2，cos－1(／14)。1.625。1.7±(2j＋k)／。1.8／2。!.92。1.10(a)20，(b)20，(c)8i－19j－k，(d)25i－15j－10k.•上述答案未经核算，仅供参考。892691533