统计学第7章 参数估计

7-1统计学STATISTICS(第二版)不像其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。GudmundR.Iversen7-2统计学STATISTICS(第二版)第7章参数估计7-3统计学STATISTICS(第二版)统计应用一次失败的民意调查在1936年的美国总统选举前，一份名为LiteraryDigest杂志进行了一次民意调查。调查的焦点是谁将成为下一届总统—是挑战者，堪萨斯州州长AlfLandon，还是现任总统FranklinDelanoRoosevelt为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单却比较容易得到)。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中，AlfLandon非常受欢迎。于是该杂志预测Landon将赢得选举。但事实上是FranklinRoosevelt赢得了这次选举调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点7-4统计学STATISTICS(第二版)第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定7-5统计学STATISTICS(第二版)学习目标1.估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别3.评价估计量优良性的标准4.一个总体参数的区间估计方法5.两个总体参数的区间估计方法6.样本容量的确定方法7-6统计学STATISTICS(第二版)参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计7-7统计学STATISTICS(第二版)统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差7-8统计学STATISTICS(第二版)7.1参数估计的一般问题7.1.1估计量与估计值7.1.2点估计与区间估计7.1.3评价估计量的标准7-9统计学STATISTICS(第二版)估计量与估计值7-10统计学STATISTICS(第二版)1.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ7-11统计学STATISTICS(第二版)点估计与区间估计7-12统计学STATISTICS(第二版)参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计7-13统计学STATISTICS(第二版)点估计(pointestimate)1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量7-14统计学STATISTICS(第二版)区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限7-15统计学STATISTICS(第二版)区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xxxzx27-16统计学STATISTICS(第二版)1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平(confidencelevel)7-17统计学STATISTICS(第二版)1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的置信区间(confidenceinterval)7-18统计学STATISTICS(第二版)置信区间(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值7-19统计学STATISTICS(第二版)置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)区间包含了的区间未包含x1–/2/2xx7-20统计学STATISTICS(第二版)影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小nx7-21统计学STATISTICS(第二版)评价估计量的标准7-22统计学STATISTICS(第二版)无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ7-23统计学STATISTICS(第二版)有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ7-24统计学STATISTICS(第二版)一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ7-25统计学STATISTICS(第二版)7.2一个总体参数的区间估计7.2.1总体均值的区间估计7.2.2总体比例的区间估计7.2.3总体方差的区间估计7-26统计学STATISTICS(第二版)一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2xp2s7-27统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(结果的四舍五入法则)1.当用原始数据构建置信区间时，置信区间的计算结果应保留的小数点位数要比原始数据中使用的小数点多一位如，原始数据有一位小数，置信区间的结果应保留两位小数2.当不知道原始数据，只使用汇总统计量(n，x，s)时，置信区间的计算结果保留的小数点位数应与样本均值使用的小数点位数相同7-28统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)7-29统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~Nnxz)(22未知或nszxnzx7-30统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.37-31统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(例题分析—正态性评估)食品重量的正态概率图NormalProbabilityPlot食品重量ExpectedNormalValue-2.5-1.5-0.50.51.52.5901001101201301407-32统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105x统计函数—CONFIDENCE7-33统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845327-34统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s统计函数—CONFIDENCE7-35统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(正态总体、２未知、小样本)7-36统计学STATISTICS(第二版)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,但方差(２)未知小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnsxtnstx27-37统计学STATISTICS(第二版)t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z7-38统计学STATISTICS(第二版)t分布(用Excel生成t分布的临界值表)1.将分布自由度df的值输入到工作表的A列2.将右尾概率的取值输入到第1行3.在B2单元格输入公式“=TINV(B$1*$A2)”，然后将其向下、向右复制即可得用Excel生成t分布的临界值表7-39统计学STATISTICS(第二版)t分布(用Excel绘制t分布图)第1步：在工作表的第1列A2：A62输入一个等差数列，初始值为“-3”，步长为“0.1”，终值为“3”第2步：在单元格C1输入t分布的自由度(如“20”)第3步：在单元格B2输入公式“=TDIST(-A2,$C$1,1)”，并将其复制到B3：B32区域，在B33输入公式“=TDIST(A33,$C$1,1)”并将其复制到B34：B62区域第4步：在单元格C3输入公“=(B3-B2)*10”，并将其复制到C4：C31区域，在单元格C32输入公式“=(B32-B33)*10”并将其复制到C33：C61区域第5步：将A2：A62作为横坐标，C2：C62作为纵坐标，根据“图表向导”绘制折线图用Excel绘制t分布图7-40统计学STATISTICS(