高数函数极限与连续

函数、极限与连续一、函数二、函数的极限三、函数的连续与间断机动目录上页下页返回结束．记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义　)(xfyxyyDxDyx叫做因变量．叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集yxD{(),}.WyyfxxD函数值全体组成的数集称为函数的值域一函数1、函数的定义机动目录上页下页返回结束函数两要素：定义域和对应法则例1、下列各组函数是否相同?为什么?(1)()1fxx21()1xxx与2(2)()lnfxx()2lnxx与sin(3)uxsinyx与不同不同相同机动目录上页下页返回结束221010,,,(),.xxfxxx例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2.分段函数机动目录上页下页返回结束例2、1013212(),().xfxfxx设求函数及定义域解:103132132()xfxx101212,,(),.xfxx132221,,,.xx31[,]故所求定义域为机动目录上页下页返回结束(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数有对于关于原点对称设,,DxD;)()()(为偶函数称xfxfxf;)()()(为奇函数称xfxfxfyxoxyoxy3xy3.函数的性质机动目录上页下页返回结束(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。1x2x21xx)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy;0时为减函数当x;0时为增函数当xxoy机动目录上页下页返回结束..)(,)(,,0,否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX(3)函数的有界性:;),0()0,(上无界及在.),1[]1,(上有界及在xyoxy111xoy-11机动目录上页下页返回结束4.复合函数1),(Duufy1()gDD且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1()gDD不可少.例如函数链:,arcsinuy但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合函数机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,,0yuu可定义复合函数:kZ02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu,(,)2xvx机动目录上页下页返回结束11,()fxx2()xgx例3、设函数求[()][()]fgxgfx和[()],[()]()2211()12111解：fgxgfxfxgxxx机动目录上页下页返回结束1020,,(),,,()xxgxexxfx例4、设求[()][()]fgxgfx和121002220220(),ln,,(),[()](),(),,ln,,,[()],,xfxxxgxfgxgxgxexexgfxeex解：21,()xfxx求.)]([xff练习1、设函数机动目录上页下页返回结束例5、13()ln()()fxxfxfx设函数，求及的定义域.11(3)3,3故的定义域为fxxxee01ln0解：由xx1()的定义域为fxxe()fx求的定义域.(cos)fx练习2、设的定义域为[0,1],机动目录上页下页返回结束例6、22arcsin.xy将分解成几个简单函数的复合2222arcsin,arcsin,xyxyuuvv故可以把分解成的复合（由外向内脱“函数”这解：件衣服）()xxfx练习3、将分解成几个简单函数的复合.机动目录上页下页返回结束5.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,2,yx00,,xxyxx在定义域上可用一个式子表示的函数,称为经过有限次四则运算和复合运算所构成,初等函数.可表为故为初等函数.机动目录上页下页返回结束例7、2132()ln()()sin[sin(sin)]yxyx判断下列函数是否为初等函数机动目录上页下页返回结束2、自变量趋于有限值时函数的极限二、函数的极限自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:3、无穷小与无穷大4、两个重要极限机动目录上页下页返回结束5、无穷小阶的比较1）直观定义:函数)(xfy在自变量x（或n）的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于一个确定常数A.1、自变量趋于无穷大时函数的极限Axfx)(limAxfx)(limlim()xfxAlimnnaAlim:()xfxA定理.)(lim)(limAxfAxfxx且机动目录上页下页返回结束1010100,().,(),,(),,().xxxfxxnfnnxfxexfxe当时无限接近于当时无限接近于当+时无限接近于当-时无限接近于例如机动目录上页下页返回结束1）直观定义:函数)(xfy在0xx但不等于0x的过程中,对应的函数值)(xf无限趋近于一个确定的常数A.2、自变量趋向有限值时函数的极限0();fxx函数极限与在点是否有定注义无关：224242422,(),().xxfxxxfxxx当时无限接近于但在例处无定义如机动目录上页下页返回结束左极限:右极限：000lim()()xxfxAfxA或000lim()()xxfxAfxA或2）单侧极限:00().xxxfx从左侧无限趋近时的极限00()xxxfx从右侧无限趋近时的极限.00000:lim()()().xxfxAfxfxA定理机动目录上页下页返回结束例1、21010,,(),.xxfxxxyox1xy112xy求0lim().xfx当x从0左右两侧趋近于0时，()fx的表达式不一样,须考察左右极限.2000000011111lim()lim(),lim()lim(),lim()lim()lim().xxxxxxxfxxfxxfxfxfx0x是函数的分段点,解：机动目录上页下页返回结束0lim.xxx求11yxo00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等,0lim.xxx不存在例2、解：011lim()x00limlimxxxxxx011limx机动目录上页下页返回结束练习1、设211141321,,,,(),,,.xxxxfxxxx求极限111111lim(),lim(),lim(),lim(),lim(),lim().xxxxxxfxfxfxfxfxfx机动目录上页下页返回结束3、无穷小与无穷大lim()0fx1lim0()fx定理2.有限个无穷小的和还是无穷小.定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例：反例：22212limnnnnnnnn()称函数在此极限过程为无穷小fx()称函数在此极限过程为无穷大fx机动目录上页下页返回结束例3、3232235741lim.xxxxx求解：,,.x时分子分母的极限都是无穷大()型3,,.x先用去除分子分母分出无穷小再求极限323323352235417417limlimxxxxxxxxxx27.“抓大头”机动目录上页下页返回结束解：例4、221123lim.xxxx求1,,.x时分子分母的极限都是零1.x先约去不为零的无穷小因子后再求极限22111113123()()limlim()()xxxxxxxxx113limxxx12.0()0型机动目录上页下页返回结束解：例5、222367lim.xxxxx求()型分子有理化法22222367442367limlimxxxxxxxxxxx22442236711limxxxxxx()型机动目录上页下页返回结束4、两个重要极限11lim()xxex11lim()e101lim()e01sinlimxxx01sinlim机动目录上页下页返回结束例6、求下列极限：1114()limxxx13115sin()limsinxxx02sin()limsinxxxxx23321()lim()xxxx2310123sinlnlim(),lim(ln)xxxxexx(1)(2)练习、1114()limxxx13115sin()limsinxxx02sin()limsinxxxxx23321()lim()xxxx机动目录上页下页返回结束10()lim,()o如果，就说是比高阶的无穷小记作；定义:0,,.设是同一过程中的两个无穷小且30()lim,;C如果就说与是同阶的无穷小1lim,;~;特殊地，如果则称与是等价的无穷小记作()lim２如果，就说是比低阶的无穷小．5、无穷小阶的比较机动目录上页下页返回结束常用等价无穷小:xsin～;x～xcos1～;221x～xarcsin～;x～1xe～;x1)1(x～;x注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法机动目录上页下页返回结束0x当时，不能滥用等价无穷小代换.切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中的各个无穷小不能分别代换.注意：例7、01()sinlim.arcsinxxxx求解：0,sin~,arcsin~.xxxxx当时01()limxxxx原式1.01lim()xx机动目录上页下页返回结束例8、302tansinlim.sinxxxx求错误解法：0,tan~,sin~.xxxxx当时302lim()xxxx原式0.正确解法：0,x当时1tansintan(cos)xxxx312~,x22sin~,xx330122lim()xxx原式116.机动目录上页下页返回结束例9、4401211ln(sin);().xxxxx证明当时，(1)与是等价无穷小与是同阶无穷小证：444400441111ln(sin)sin()limlim,ln(sin)xxxxxxxx故与是等价无穷小00111221111()limlim.xxxxxxxxx，故与是同阶无穷小机动目录上页下页返回结束2.求4.试确定常数a，b使练习题:3113111.lim()xxx求()型(0)型2030502332321()().lim()xxxx()型机动目录上页下页返回结束可见,函数在点0x三、函数的连续与间断1、定义:在的某邻域内有定义,则称函数.)(0连续在xxf(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束定理1、基本初等函数在定义域内是连续的.定理2、一切初等函数在其定义区间内都连续.定义区间是