高数提高 数学竞赛 考研数学复习第六章 多元函数微分学

第六章多元函数微分学内容提要一、极限与连续1．重极限（1）定义在)(lim0PfPP中，0PP的过程是fDP，0||00PP．（2）性质与运算（3）计算方法2．连续的定义、性质与运算二、偏导数与全微分1．定义（1）偏导数00|),(yyxxxyxf0|),(0xxyxf（2）全微分（2）全微分2．可微的必要条件、充分条件3．偏导数与全微分的运算性质4．偏导数与全微分的几何意义5．连续、可导与可微的关系6．偏导数与全微分的计算三、二元函数泰勒公式四、极值与条件极值、最值1．极值的必要条件2．二元函数取得极值的充分条件3．条件极值的求法4．最值的判定与求法五、几何应用1．求空间曲线的切线方程与法平面方程2．求曲面的切平面方程与法线方程例题例1．讨论01limyxyxyxy)1ln(．解法1：01limyxyxyxy)1ln(01limyxxyxyxx1)1ln(101lim1limxyxxxxyxy1)1ln(21．解法2：01limyxyxyxy)1ln(01limyxyxyxy1limx1xx21．例2．计算22200limyxyxyx221sinyx．解法1：222yxyx)1(21ox，)1(1sin22Oyx，22200limyxyxyx221sinyx0)1()1()1(oOo．解法2：22200limyxyxyx221sinyx00limyx极坐标(),(sin),(cos),(2yxyxyx),(1sin2yx)0)1()1()1(oOo．例3．设2),(Cyxf．试证：不存在),(yxf，它同时满足证：若不然，由2),(Cyxf，yxf，xyf2．应有yxxyff，从而有21,得出矛盾．证毕．例4．已知),(yxf在点)0,0(的某邻域内连续，且1)(),(lim22200yxxyyxfyx，则（）．（A）点(0,0)不是),(yxf的极值点；（B）点(0,0)是),(yxf的极大值点；（C）点(0,0)是),(yxf的极小值点；（D）根据所给条件无法判断点)0,0(是否为),(yxf的极值点．解：由1)(),(lim22200yxxyyxfyx，利用极限与无穷小的关系，得)1(1)(),(222oyxxyyxf，即222)))(1(1(),(yxoxyyxf．由此得0)0,0(f，并且有2200),(limyxyxfxyyx2200limyxxyxyyx21，2200),(limyxyxfxyyx2200limyxxyxyyx21，从而，在点)0,0(的某个去心邻域内有当xy时，0),(22yxyxf，从而)0,0(0),(fyxf；当xy时，0),(22yxyxf，从而)0,0(0),(fyxf．故应选（A）．例5．设),0()(2Cru，22yxr，yyxxuuu．试证：（1）drrdurdrdru)(1；（2）当0u时，有21lnCrCu，其中1C、2C为常数．证：（1）xuxyxrdrrud),())((rxdrrud))((，22xurxdrrudx))((222))((rxdrrud2))((rrxxrdrrud2222))((rxdrrud32))((rydrrud，由对称性，有22yu2222))((rydrrud32))((rxdrrud，从而u),(),(yxuyxuyyxx22))((drrudrdrrud1))((drrdurdrdr)(1．（2）由u0)(1drrdurdrdr，有rCdrrud1))((1，积分得21lnCrCu．证毕．2222rxdrud32rydrdu2222rydrud32rxdrdu例6．设22),(RCvuzz，可逆变换yxu2、ayxv把方程06yyxyxxzzz化为0uvz．求a．解法1：视),(yxz为),(vuz与yxu2、ayxv的复合函数，有xvxuxvzuzzvuzz，yvyuyvzuzzvuazz2，xxzxvvxvuxuvxuuvzuzvzuzvvuvuuzzz2，xyzyvvyvuyuvyuuvzuzvzuzyyzyvvyvuyuvyuuvazuazvzuz22vvuvuuazzaz)2(2，vvuvuuzaazz244.代入06yyxyxxzzz，得0)6()105(2vvuvzaaza,令其为0uvz，即有062aa且0105a，故3a.解法2：由0)(vuuvzz，得)(ufzu．对u求偏积分，得)()2()()(ayxgyxFvguFz．于是，有)()2(ayxgyxFzxx，)()2(2ayxgayxFzxy，)()2(42ayxgayxFzyy．代入方程06yyxyxxzzz，得0)()6(2ayxgaa，解得23aa，．若2a，则与变换的可逆性相矛盾，故3a．例6．设22),(RCvuzz，可逆变换yxu2、ayxv把方程06yyxyxxzzz化为0uvz．求a．法平面方程．解法1：利用曲线的显方程求切向量．由　1123222zyxzyx，得曲线的显式方程2)2(411)(32xxxyy，3)(1)(xxyxzz．因为过点)1,1,1(，故2)2(41132xxy，3)(1xxyz．例7．求曲线　1123222zyxzyx在点)1,1,1(处的切线方程及求导数，得)1,1,1(32)1,1,1(|2)2(411|xxy5)2(4132)1,1,1(322xxxx，)1,1,1(3)1,1,1(|)(1|xxyz4123)1,1,1(32xyxdxdy.得切线方程415111zyx，法平面方程0845zyx．解法2：利用曲线一般方程中的两个曲面过点)1,1,1(的切平面的交线就是为该曲线的切线，得切线方程　0)1(2)1()1(30)1(2)1(2)1(2zyxzyx，即042301zyxzyx，其方向向量)4,5,1()2,1,3()1,1,1(21nns，故法平面方程0845zyx．法平面方程．例7．求曲线　1123222zyxzyx在点)1,1,1(处的切线方程及解法3：利用曲线作为两个曲面的交线，其切向量垂直于相应点处曲面的法向量，得曲线在点)1,1,1(处的切向量T)1,1,1(21)(nn)1,1,1(zyxzyxGGGFFFkji)4,5,1(2，即可得所求切线方程与法平面方程．法平面方程．例7．求曲线　1123222zyxzyx在点)1,1,1(处的切线方程及解法4：利用一般式方程给出的曲线切向量的计算公式，有T)1,1,1(),(),(,),(),(,),(),(yxGFxzGFzyGF)1,1,1(221,32,2,3,22,2,2,12,2xyxxzxzzzy)4,5,1(2，即可得所求切线方程与法平面方程．例7．求曲线　1123222zyxzyx在点)1,1,1(处的切线方程及法平面方程．例8．设),(yxf可微，对Rt，有),(),(2yxfttytxf．又设)2,2,1(0P是曲面),(yxfz上的一点，且4)2,1(xf．试确定曲面在0P点处的切平面方程．解：对),(),(2yxfttytxf两边关于t求导，然后令1t，得),(2),(),(yxfyxyfyxxfyx．由)2,2,1(0P在曲面),(yxfz上，有2)2,1(f．再利用4)2,1(xf及上式，即得0)2,1(yf．故曲面在0P点处的切平面方程是0)2()1(4zx，即024zx．解法1：利用两点间距离公式和拉格朗日乘数法．此问题可归结为：求点),(11yx到点),(22yx的距离函数212212)()(yyxxd在11xey与122yx限制下的最小值．因为d的最小值点与2d的最小值点相同，故可取)1()()()(2212122121yxeyyyxxLx．令0)(21112xxexxL，0)(2121yyLy,0)(2122xxLx，0)(2122yyLy，011xey，0122yx．由xey与直线01yx不相交可知，0．解得01x，11y，12x，02y，是唯一的驻点，即为最小值点，得最短距离2d．例9．求曲线xey与直线01yx之间的最短距离．解法2：利用点到直线的距离公式和消元法．此问题也可归结为：求点),(yx到直线01yx的距离函数22)1(11yxd|1|21yx在xey限制下的最小值．注意到xey在01yx（即1xy）上方,从而1xy，即01yx，)1(21yxd.将xey代入目标函数中，化为)1(21xexd的无条件极值问题．设1)(xexxf，令01)(xexf，得唯一驻点0x，即为最小值点，得最短距离2d．例9．求曲线xey与直线01yx之间的最短距离．解法3：用几何方法．注意到达到两曲线之间距离最短的点的连线一定是两曲线的公垂线，设xey上),(00yx到01yx距离最短，则有xey在),(00yx的切向量//),1(0xe01yx的方向向量)1,1(，故有10xe，得00x，100xey．再利用点到直线的距离公式得最短距离为2．例9．求曲线xey与直线01yx之间的最短距离．例10．设三角形的三边长度分别为cba、、．试确定三角形内一点，使其到三边的垂距之积最大．解：设内点P到长度为cba、、三边垂距分别为zyx、、，并以S表示三角形的面积，则有Sczbyax2．此问题可归结为：求目标函数xyz在Sczbyax2限制下，在0x、0y、0z中的最大值点．记)2(SczbyaxxyzL，令0ayzLx，0bxzLy，0cxyLz，Sczbyax2．解得cSzbSyaSx32,32,32．根据问题的实际背景可知，此唯一的驻点即为最大值点．故当三角形的内点到长度为cba、、的三边的垂距分别为cSzbSyaSx323232、、时，三边的垂距之积最大．例11．设),(yxf可微，且0)(limyxryfxf，其中22yxr．试证：),(limyxfr．证：在点),(yx处),(yxr方向上ryfrxfrfyx，由02)(limyxryfxf，根据极限的保号性质可知，0R，当Rr时，有2rfryfxfyx，从而有0)2ln(rfr．利用单调性，就有2ln)sin,cos(2ln)sin,cos(RRRfrr