考研高等数学课件 (第21-23课)

第七章多元函数微分学第七章多元函数微分学一、重极限,连续,偏导数,全微分（概念，理论）1.重极限2.连续3.偏导数（1）定义:是以“任意方式”第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点【例】设求【解】（2）几何意义:第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点4.全微分（1）定义:若（2）判定:与都存在;和在连续;①必要条件:②充分条件:③用定义判定:与是否都存在?是否为零?（3）计算:若可微,则第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点5.连续、可导、可微的关系一元函数多元函数连续可导可微连续可导可微偏导数连续第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点【例1】二元函数在点处（）常考题型连续、可导、可微的判定及其之间的关系（A）连续、偏导数存在；（B）连续、偏导数不存在；（C）不连续、偏导数存在；（D）不连续、偏导数不存在；第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点【解】由于则极限222222200limlim1xxykxxykxkxyxkxk22(,)(0,0)limxyxyxy不存在，(,)(0,0)fxy在不连续.由对称性知从而00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0xxxfxffxx(0,0)0yf故应选（C）.第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点【例2】二元函数在点处两个偏导数存在,是在该点连续的（）（A)充分条件而非必要条件；（B)必要条件而非充分条件；（C)充分必要条件；（D)既非充分条件又非必要条件；第七章多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点【例3】设则函数在原点处偏导数存在的情况是都存在；（B）不存在,存在；（A）（C）存在,不存在；都不存在；（D）第七章多元函数微分学【解】(,0),xfxe该函数在0x处不可导，则(0,0)xf不存在，2(0,),yfye该函数在0y处可导，则(0,0)yf存在，故应选（B）.多元函数微分学的相关概念及知识要点1.复合函数求导法可导,一阶偏导数,则设在相应点有连续设都有连续一阶偏导数2.全微分形式不变性则二、偏导数与全微分的计算第七章多元函数微分学偏导数与全微分的计算方法:②等式两边求导③利用微分形式不变性①公式3.隐函数求导法有连续一阶偏导数,由所确定.设（1）由一个方程所确定的隐函数第七章多元函数微分学偏导数与全微分的计算②微分形式不变性（2）由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）设由所确定.①等式两边求导方法:第七章多元函数微分学常考题型则【例1】设1.复合函数偏导数和全微分的计算2.隐函数偏导数和全微分的计算第七章多元函数微分学【解】令1,y则ln(1)(1)xxxzxe(1)ln(1)1xdzxxxdxx(1,1)12ln22ln212zx111,1,yxzy令得(1,1)2ln21(1)zy(1,1)(12ln2)()dzdxdy偏导数与全微分的计算【例2】由方程的函数在点处的全微分所确定第七章多元函数微分学【解】0,y令得211,xz20,zxx(1,0)2.xz1,x令得11,yez0,yzey(1,0)1.yz(1,0,1)2dzdxdy偏导数与全微分的计算【例3】已知求第七章多元函数微分学偏导数与全微分的计算【例4】设其中是由确定的隐函数,则第七章多元函数微分学【解】22xxxzfeyzeyzx偏导数与全微分的计算【例5】设为二元可微函数，则第七章多元函数微分学偏导数与全微分的计算【例6】设函数其中函数具有二阶连续偏导可导且在处取得极值求数,函数第七章多元函数微分学【解】12()zyfygxfx解法12111122()()zfxyfyfgxgxfxy2122()()ygxxfgxf21111211(1,1)(1,1)(1,1).xyzfffxy偏导数与全微分的计算122()zyfygxfx解法211122111(,)(,)(,)yxyzfyyyfyyyfyyxy11122(1,1)(1,1)(1,1)fff偏导数与全微分的计算1.无条件极值.（1）定义:极大：极小：（2）极值的必要条件极值点驻点三、极值与最值第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值（3）极值的充分条件且①当时,有极值设②当时,无极值.③当时,不一定(一般用定义判定).第七章多元函数微分学极小值极大值多元函数的极值与最值2.条件极值与拉格朗日乘数法在条件条件下的极值.（1）函数令（2）函数在条件条件下的条件极值.令第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值3.最大最小值在有界闭域上的最大最小值.求连续函数（1）求在内部可能的极值点.（2）求在的边界上的最大最小值.（3）比较第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值常考题型在有界闭区域上的最大最小值；1.求极值（无条件、条件）；2.求连续函数3.最大最小值应用题.第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值【例1】设可微函数在点取得极小值,在处的导数大于零.（A）则下列结论正确的是（）在处的导数等于零.（B）在处的导数小于零.（C）在处的导数存在.（D）第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值【例2】设函数的全微分为则点（A）不是的连续点.的极值点.（B）不是的极大值点.（C）是的极小值点.（D）是（）第七章多元函数微分学多元函数的极值与最值【解】1dzxdxydy解法由知,xyzxzy1,0,1xxxyyyzzz210,0ACBA则点（0，0）是(,)fxy的极小值点，故应选（D）.2212()2dzxdxydydxy解法则221()2zxyC由极值定义知221()2zxyC在（0，0）取极小值.多元函数的极值与最值【例3】求二元函数的极值.第七章多元函数微分学【解】222(2)02ln10xyfxyfxyy令10,xye得2110,22,xxAfee10,0,xyBfe10,yyCfee20,0.ACBA则1(,)0,fxye在取极小值，110,.fee多元函数的极值与最值【例4】求在椭圆域上的最大值与最小值。第七章多元函数微分学【解】2020xyfxfy令0,0,(0,0)2,xyf得边界：方法1：拉格朗日乘数法.方法2：化为无条件极值.224(1)yx224(1)2fxx1,1x252xmaxmin3,2.ff多元函数的极值与最值