第二章 第十节 函数模型及其应用

函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．[理要点]一、三种增长型函数增长速度的比较在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)，y＝xn(n0)都是函数，但它们的不同．随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度；而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越，图象逐渐表现为与x轴趋于．因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有.增长速度logaxxnax平行快慢增二、几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)三、解答函数应用题的一般步骤1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论；4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度逐渐缓慢．[究疑点]直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？[题组自测]1．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5x10)答案：D2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.答案：B3．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿费的11%纳税．某人出了一本书，共纳税420元，这个人稿费为()A．3600元B．3800元C．4000元D．4200元答案：B4．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(t∈N*)．(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．解：(1)P＝f(t)＝t2＋11，t∈[1，20，－t＋41，t∈[20，40].Q＝g(t)＝－t3＋433，t∈[1,40]．(2)当1≤t＜20时，S＝t2＋11－t3＋433＝－16t－2122＋422524.∵t∈N*，∴t＝10或11时，Smax＝176.当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)－t3＋433＝13t2－28t＋17633为减函数；当t＝20时，Smax＝161.而161176.∴当t＝10或11时，Smax＝176.[归纳领悟]1．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，构建分段函数模型求解．2．分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同，在应用时，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段变量的范围，特别是端点值．[题组自测]1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A．25元B．20.5元C．15元D．12.5元解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：D2．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.∵△AFE∽△ACB，∴AFAC＝FEBC，即40－y40＝x60.∴y＝40－23x.剩下的残料面积为S＝12×60×40－x·y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600.∵0x60，∴当x＝30时，S取得最小值为600，这时y＝20.∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．3．某加工厂需定期购买材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少值．解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用：y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为(6x2－6x＋600＋1.5×400x)元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.∴y≥2600x·6x＋594＝714.当且仅当600x＝6x，即x＝10时取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少费用为714元．不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一次购买不少于4800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂是否可接受此条件？解：购买一次原材料平均每天支付总费用为f(x)＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400×0.9＝600x＋6x＋534(x≥12)，f′(x)＝－600x2＋6＝6x2－600x2，当x≥10时，函数f(x)为增函数．f(x)min＝f(12)＝656，而714656，故该厂可接受此条件．[归纳领悟]1．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．注意：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．2．形如f(x)＝kx＋ax(ka0)的函数，实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数，根据其图象特点，通常称其为“对勾函数”．这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用，常常利用“基本不等式”求解，有时也利用函数单调性求解.[题组自测]1．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩B．172800亩C．17280亩D．20736亩答案：C2．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p%，由题意可得13＝(1－p%)3，∴p%＝1－(13)13，∴9年后的价格y＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3003．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.195,1.01216≈1.213)解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系是y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.012120100＝log1.0121.20≈15.28715(年)．所以大约16年后该城市人口将达到120万人．[归纳领悟]增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知表格中给定的值对应求解．一、把脉考情通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，这类题目更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活．题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2012年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．A．y＝[x10]B．y＝[x＋310]C．y＝[x＋410]D．y＝[x＋510]二、考题诊断1．(2010·陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()答案：B解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝．[x＋310]2．(2010·湖北高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．k3x＋5解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0