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2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．复数4﹣3i虚部为（）A．﹣3iB．﹣3C．3iD．32．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①4．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）A．B．C．D．[选修4-1：几何证明选讲]5．如图，若△ACD～△ABC，则下列式子中成立的是（）A．AC•AD=AB•CDB．AC•BC=AB•ADC．CD2=AD•DBD．AC2=AD•AB[选修4-4：坐标系与参数方程]6．极坐标方程2ρcos2θ﹣sinθ=0表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线[选修4-5：不等式选讲]7．不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣4，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣1）8．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A．①﹣综合法，②﹣分析法B．①﹣分析法，②﹣综合法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法9．如图是某同学为求50个偶数：2，4，6，…，100的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（）A．B．C．D．[选修4-1：几何证明选讲]10．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠ABC=（）A．70°B．60°C．45°D．30°[选修4-4：坐标系与参数方程]11．若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．2[选修4-5：不等式选讲]12．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣2），B（3，2）是其图象上的两点，记不等式|f（x+2）|＜2的解集M，则∁RM=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）13．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4B．2C．3D．114．已知a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为（）A．18B．9C．3D．215．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062[选修4-1：几何证明选讲]16．如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．cosAB．sinAC．sin2AD．cos2A[选修4-4：坐标系与参数方程]17．直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A．B．C．D．[选修4-5：不等式选讲]18．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[2，+∞）D．a∈R二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分）19．若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则z=______．20．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：x0123Y﹣11m8若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是______．21．已知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•=••…•=3…；若a1•a2•a3…am=2016（m∈N*），则m的值为______．[选修4-1：几何证明选讲]22．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=______．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为______．[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=3，ma+mb=3，则的最小值为______．三、解答题（本大题共1小题，共70分，解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）[选修4-1：几何证明选讲]25．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]26．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且只有一个公共点，求a．[选修4-5：不等式选讲]27．已知函数f（x）=+，求f（x）的最大值．28．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．29．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？年级名次是否近视1～50951～1000近视4132不近视918P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005K2.7063.8415.0246.6357.879附：K2=．30．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b=1，求+的最大值．解：∵•≤=a+，•≤=b+，相加得•+•=•（+）≤a+b+3=4，∴+≤2，等号在a=b=时取得，即+的最大值为2．请类比以上解题法，使用综合法证明下题：已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求++的最大值．31．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．（，a=﹣b）[选修4-1：几何证明选讲]32．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是☉O的切线；（2）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]33．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（3，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于AB两点，求|MA|+|MB|．[选修4-5：不等式选讲]34．设f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题1.B2．A3．B4．B5．D6．D7．D8．A9．A10．B11．A12．C13．B14．C15．C16．D17．C18．C二、填空题19．1+2i20．421．22016﹣222．23．（2，﹣4）24．三、解答题25．解：设AP=k，PB=5k，CD=10，由相交弦定理得：CP•PD=AP•PB，∴，∵CD=10，∴5k2=25，解得k=（舍负），∴==3，∴⊙O的半径为3cm．26．解：曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），即ρ2=2aρcosθ（a＞0），∴x2+y2=2ax，配方可得：C的直角坐标方程为（x﹣a）2+y2=a2．直线l：ρcos（θ﹣）=，展开为+=，可得直角坐标方程：．由直线与圆相切可得：，a＞0．解得：a=1．27．解：由柯西不等式有…当且仅当，即x=1时，等号成立．所以，f（x）最大值的是3．28．解：z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．29．解：（Ⅰ）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×=820．…（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．…因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…30．证明：∵，…．…．…∴…因为x+y+z=3，所以．…当且仅当等号在x=y=z=1时取得．即得最大值为．…31．解：（1）===5，===50，∴===6.5，因此，所求回归直线方程为y=6.5x+17.5.（2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，y=6.5×10+17.5=82.5（万元），即这种产品的销售收入大约为82.5万元．（3）x24568y304060507030.543.55056.569.5基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个．两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5有（60，50），所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1﹣=．…32．（1）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O切线．（2）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌△AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．33．解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∵，∴x2+y2=4x，∴对于l：有．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，得，化简得，34．解：（1）∵f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|，∴x≤﹣3时，f（x）=﹣x+1+x+3=4＞2，∴x≤﹣3；﹣3＜x＜1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2＞2，∴x＜﹣2，∴﹣3＜x＜﹣2；x≥1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣3=﹣4＞2，不成立．综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2}；（2）x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2，由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒