考研冲刺班线代讲义

1aaaaaaaa2111222110110111463112221232110111111112221100110111aaaa当01a时，,2),,(321r,3),,,,,(321321r321,,与321,,不等价当01a时，,3),,,,,(),,(321321321rr再求),,(321r：100110111111110111111112221),,(321aaaTTT3),,(321r1a时321321,,,,例6、设（I）和（II）都是4元齐次线性方程组，（I）有基础解系,11011,01012,01103（II）有基础解系,10101,01112求（I）和（II）的公共解。解：（II）的解有2211cc的形式2211cc是公共解3212211,,cc3),,(),,,(3212211321rccr21212111221222113213000100010001001111100011),,,(cccccccccccccc2于是：2211cc是公共解,312cc公共解1323312111ccc1c任意例7、设（I）和（II）都是3元非齐次方程组，（I）有通解2122111,,cccc任意，（II）有通解cc,2任意，其中,)1,0,1(1T,)2,1,0(2T,)0,1,1(1T,)1,2,1(2T,)2,1,1(T求（I）与（II）的公共解。解：思路：公共解一定是（II）的解，从而有c2的形式，并且满足,,2112c由此决定cccccccc210012101111210121111),,(1221得2/1,021cc于是公共解只有一个：T)3,2/3,2/1(2/12例8、设A是nm矩阵，B是sm矩阵，证明存在sn矩阵C满足)()|(ArBArACB证：记),,,,(),,,,(2121snBA“”若,ACB则,,,,,,,2121ns从而),,,(),,,,,,,(212121nsnrr即)()|(ArBAr“”当)()|(ArBAr时，,,,,,,,2121ns用矩阵分解，存在sn矩阵C，使得ACB3、向量组的线性相关性（1）定义与意义定义：对n维向量组,,,,21s如果存在不全为0的一组数,,,,21sccc使得02211ssccc3则称s,,,21线性相关，否则就称它们线性无关。意义：1s时相关即,0无关即0。1s时s,,,21线性相关指存在i可用其余向量线性表示，线性无关指每个向量i都不能用其它向量线性表示用齐次方程组看，记),,,,(21sA则s,,,21线性相关0AX有非零解。（2）判别1）两个向量,的相关性：若),,,,(21naaa),,,,(21nbbb则,线性相关nnbababa:::22112）向量的个数大于维数则一定线性相关n个n维向量n,,,21线性相关0,,,21n3）线性无关向量组的部分组一定线性无关（有部分组线性相关的向量组一定线性相关；含零向量的向量组一定线性相关）4）当s,,,21线性无关时，,,,,21s线性相关s,,,21（无）!5）若,,,,,,,2121st且,st则t,,,21一定线性相关6）s,,,21线性相关srs),,,(21（无）（=）（3）典型例题例1、设s,,,21和t,,,21都是线性无关的n维向量组。证明ts,,,,,,,2121线性相关存在非零向量s,,,,21且t,,,21。证：由于ts,,,,,,,2121线性相关，存在tsdddccc,,,,,,,2121不全为0，使得022112211ttssdddccc记,2211ssccc即4)(11ttdd则0（否则tsdddccc,,,,,,,2121全为0）且,,,,21st,,,21若,0,2211sscccttdd11则sccc,,,21不全为0，tddd,,,21不全为0，并且022112211ttssdddccc从而ts,,,,,,,2121线性相关例2、设是一个n维列向量，A是n阶矩阵，存在正整数,k使得,01kA而,0kA证明1,,,kAA线性无关。证：用反证法证明。设有110,,,kccc不全为0，使得,01110kkAcAcc设lc是110,,,kccc中第一个不为0的数，则,011kkllAcAc用1lkA乘此式，得,01klAc而,01kA于是,0lc矛盾。例3、设l，，，21是齐次方程组0AX的基础解系，sl,,,,,,,2121线性无关，证明sAAA,,,21线性无关证：设02211ssAcAcAc即0)(2211sscccA于是ssccc2211是0AX的解，从而lssccc,,,212211设llsskkkccc22112211即022112211ssllccckkk由于sl,,,,,,,2121线性无关，得5011sskkcc4、向量组的极大无关组与秩讨论向量组s,,,21的秩是对s,,,21相关程度的定量讨论。s,,,21的极大无关组即一个部分组（I），它满足1）（I）线性无关2）（I）再扩大就相关（即每个i（I））),,,(21sr（I）包含向量的个数因此),,,(21sr即s,,,21的线性无关部分组最多可包含向量的个数。当rrs),,,(21时，s,,,21存在部分组线性无关，它含有r个向量，而且是向量数大于r的部分组一定相关。极大无关组和秩可推广到向量集合上，例如齐次方程组0AX的基础解系就是其解集合J的极大无关组。例26、设非齐次方程组AX有无穷多解，证明其解集合J的秩为1)(Arn证：用定义做，构造J的极大无关组，取0是AX的一个解，取l,,1是0AX的一个基础解系，),(Arnl则l,,1线性无关并且,,,!10l从而01,,,l线性无关记,,,2,1,0liii则i都是AX的解并且,,,,,,,,,021021ll从而,1),,,,(),,,,(021021lrrll于是021,,,,l线性无关又对AX的任意一个解，6,,01l，，从而,,,,01l从而01,,,l是J的一个极大无关组1)(1)(ArnlJr5、有关秩的不等式1）},min{),,,(021nsrs},min{)(0nmAr2）当st,,,,,2121时),,,(),,,(2121strr3）)}(),(min{)(BrArABr4）当A可逆时，)()(BrABr（若A列满秩时）当B可逆时，)()(ArABr（B行满秩时）5）当0AB时，nBrAr)()(6）1)(01)(1)(*)(nArnArnArnAr7）nm矩阵A的秩为1TA其中,分别是nm,维非零列向量例27、设s,,,21是n维向量组，A是nm矩阵，则（A）若s,,,21相关，则sAAA,,,21相关（B）若s,,,21相关，则sAAA,,,21无关（C）若s,,,21无关，则sAAA,,,21相关（D）若s,,,21无关，则sAAA,,,21无关7解：（A）可用定义做，s,,,21相关，则存在sccc,,,21不全为0，使得02211ssccc用A乘上式，得02211ssAcAcAc从而sAAA,,,21相关（A）对，（B）不对对（C），（D）都可以EA或0为反例来排除此题若从秩的角度看，就更加通透了),,,(),,,(2121ssAAAA从而),,,(),,,(2121ssrAAAr如果s,,,21相关，即,),,,(21srs于是sAAArs),,,(21，即sAAA,,,21相关如果s,,,21无关，则,),,,(21srs但只解得出sAAArs),,,(21不能确定“=”还是“”如果A可逆，或A列满秩，则),,,(),,,(2121ssrAAAr此时s,,,21与sAAA,,,21有一致的相关性例28、已知321,,是齐次方程组的基础解系，则（）也是0AX的基础解系（A）32123221,,,（B）3221,（C）1332212,2,2（D）321321321553,232,解：（C）首先可排除（A）和（B），因为0AX的基础解系应含有3个解。（A）中有4个，（B）8只有2个。（C），（D）都含有3个向量，并且这些向量都是0AX的解，因此，只用判断哪一组向量线性无关。看（C），用秩来判断，利用矩阵分解120012201),,()2,2,2(321133221因为120012201可逆（行列式为9），所以3),,()2,2,2(321133221rr得出1332212,2,2线性无关一般的，当s,,,21线性无关，而,,,,,,,2121ss有srrss),,,(),,,(2121怎么判断s,,,21相关性？可用矩阵分解法Css),,,(),,,(2121其中C是s阶矩阵当C可逆时，则srrss),,,(),,,(2121从而s,,,21无关若C不可逆，则,)(sCr则sCrrs)(),,,(21从而s,,,21相关如果用性质：当A列满秩时，)()(BrABrs,,,21线性无关，即),,,(21s的秩为s，列满秩，于是)(),,,(21C