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1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。mlm1x图E1.1解：系统的动能为：()222121xIlxmT+=其中I为杆关于铰点的转动惯量：2102120131lmdxxlmxdxlmIll∫∫==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=则有：()221221223616121xlmmxlmxmlT+=+=系统的势能为：()()()2121212414121cos12cos1glxmmglxmmglxxlgmxmglU+=+=−⋅+−=利用xxnω=和UT=可得：()()lmmgmmn113223++=ω1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。kkACaRθ图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθmRmRmRITB=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==()[]()222212θθaRkaRkU+=+⋅=利用θωθn=和UT=可得：()mkRaRmRaRkn343422+=+=ω1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。k1k2k3J图E1.3解：系统的动能为：221θJT=2k和3k相当于串联，则有：332232,θθθθθkk=+=以上两式联立可得：θθθθ32233232,kkkkkk+=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=kkkkkkkkkkU利用θωθn=和UT=可得：()()3232132kkJkkkkkn+++=ω1.4在图E1.4所示的系统中，已知()bamiki,,3,2,1和=，横杆质量不计。求固有频率。k2k1abk3mmgbaaF+=2mgabx1x2x0x′mgbabF+=1图E1.4答案图E1.4解：对m进行受力分析可得：33xkmg=，即33kmgx=如图可得：()()22221111,kbamgakFxkbamgbkFx+==+==()()mgkkbakbkabaxxaxxxx212221212110++=+−+=′+=()mgkmgkkkbakbkaxxx0321222123011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=则等效弹簧刚度为：()()2123223123212kkbakkbkkakkkbake++++=则固有频率为：()()()[]222132212321bkakkbakkmbakkkmken++++==ω1.7质量1m在倾角为α的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量2m，如图E1.7所示。确定系统由此产生的自由振动。hkm1m2αx0x2xx12图E1.7答案图E1.7解：对1m由能量守恒可得（其中1v的方向为沿斜面向下）：211121vmghm=，即ghv21=对整个系统由动量守恒可得：()02111vmmvm+=，即ghmmmv22110+=令2m引起的静变形为2x，则有：22sinkxgm=α，即kgmxαsin22=令1m+2m引起的静变形为12x，同理有：()kgmmxαsin2112+=得：kgmxxxαsin12120=−=则系统的自由振动可表示为：txtxxnnnωωωsincos00+=其中系统的固有频率为：21mmkn+=ω注意到0v与x方向相反，得系统的自由振动为：tvtxxnnnωωωsincos00−=1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？kacOakθlcθ图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：llcaakI⋅−⋅−=θθθ，231mlI=033222=++θθθkaclml，223mlkan=ωnmlclξω2322=，321123mklacmcn⇒⋅=ωξaaklmg⋅=⋅02θ，202kamgl=θ1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为SvFd2μ=，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T，在粘性流体中自由振动的周期为dT。求系数μ。图E1.12解：平面在液体中上下振动时：02=++kxxSxmμ02Tmknπω==，dndTπξωω212=−=nnmSmSωμξξωμ=⇒=22，kS222μξ=kSk2221μξ−=−2020220222TTTSTmkSkTTddd−=⇒−=πμμππ2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，°=30α，m=1kg，k=49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。mkαmgααx0x图T2-1答案图T2-1解：0sinkxmg=α，1.049218.91sin0=××==kmgxαcm70110492=×==−mknωrad/sttxxn70cos1.0cos0−==ωcm2.1图E2.2所示系统中，已知m，c，1k，2k，0F和ω。求系统动力学方程和稳态响应。c1c2k1k2x2x1mk2c2k1c1mx1mxmxk2xc2()11xxk−()11xxc−图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)解：等价于分别为1x和2x的响应之和。先考虑1x，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：()()xcxkxccxkkxm112121+=++++tAcAkkxxcxm1111111cossinωωω+=++（1）21ccc+=，21kkk+=，mkkn21+=ω（1）的解可参照释义（2.56），为：()()()()()()()22211111222111121cos21sinsstkAcsstkAktYξθωωξθω+−−++−−=（2）其中：nsωω1=，21112sstg−=−ξθ()()()212122122122112121kkcckkkkcs++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+ωωξ()()()()()21212212212122112122121222121kkccmkkkkcckkmss+++−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−ωωωωξ故（2）为：()()()()()()()()211212212212121212112122122121111111111sincossinθθωωωωωωθωωθω+−++−++=++−+−+−=tccmkkckAccmkktActAktx()()mkkcctgkkmkkctgsstg2121121121212111211112ωωωωξθ−++=+−+=−=−−−11112kctgωθ−=考虑到()tx2的影响，则叠加后的()tx为：()()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++−++−++=−−=∑iiiiiiiiiiiiikctgmkkcctgtccmkkckAtxωωωωωωω12212112122212221222sin2.2如图T2-2所示，重物1W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W从高度为h处自由下落到1W上而无弹跳。求2W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。khW2W1xx0x1x12平衡位置图T2-2答案图T2-2解：222221vgWhW=，ghv22=动量守恒：122122vgWWvgW+=，gh=平衡位置：11kxW=，kWx11=1221kxWW=+，kWWx2112+=故：kWxxx21120=−=()2121WWkggWWkn+=+=ω故：tvtxtxtxxnnnnnnωωωωωωsincossincos12000+−=+−=2.4在图E2.4所示系统中，已知m，1k，2k，0F和ω，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。k2mk1tFωsin0x1x2tFωsin0m11xk()122xxk−2xm()122xxk−图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴1x和2x，对连接点A列平衡方程：()0sin012211=+−+−tFxxkxkω即：()tFxkxkkωsin022121+=+（1）对m列运动微分方程：()1222xxkxm−−=即：12222xkxkxm=+（2）由（1），（2）消去1x得：tkkkFxkkkkxmωsin2120221212+=++（3）故：()21212kkmkkn+=ω由（3）得：()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+=ttkkmkFtxnnnωωωωωωsinsin22212022.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，0F和ω，且t=0时，0xx=，0vx=，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。ckmtFωcos0图E2.3解：()()()θωωωξω−++=−tAtDtCetxddtcossincos0()()2220211sskFAξ+−⋅=，2112sstg−=−ξθ()θθcoscos000AxCACxx−=⇒+==()()()()θωωωωωωωωξωξωξω−−+−++−=−−tAtDtCetDtCetxddddtddtsincossinsincos000()dddACvDADCvxωθωωξωθωωξωsinsin00000−+=⇒++−==求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k及3k，悬臂梁的质量忽略不计。mk1k2k3k4无质量mk1k2k3k4图T2-7答案图T2-7解：1k和2k为串联，等效刚度为：212112kkkkk+=。（因为总变形为求和）12k和3k为并联（因为12k的变形等于3k的变形），则：2132312132121312123kkkkkkkkkkkkkkkk+++=++=+=123k和4k为串联（因为总变形为求和），故：424132312143243142141234123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkke++++++=+=故：mken=ω2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为ω时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为tmeωωsin2。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅cmXm07.1=，远离共振时垂直振幅趋近常值cmX32.00=。求支承阻尼器的阻尼比及在min300r=ω运行时机器的垂直振幅。tmeωωsin2221ωme221ωme图E2.7解：()()()()θωξ−+−⋅=tsssMmetxsin212222，2112sstg−=−ξθs=1时共振，振幅为：cmMmeX07.1211=⋅=ξ（1）远离共振点时，振幅为：cmMmeX32.02==（2）由（2）2XmeM=⇒由（1）15.02212112121==⋅=⋅=⇒XXXXmemeXMmeξmin300r=ω，Mk=0ω，10ωω=s故：()()msssMmeX32222108.321−×=+−⋅=ξ2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。k2k1ml1l2mglllF2112+=mgl1l2x1x2xx′mglllF2121+=图T2-9答案图T2-9解：（1）保持水平位置：mkkn21+=ω（2）微幅转动：()()()()()()()()()mgkkllklklmgkkllkll