振动力学第四章多自由度系统的振动

第4章多自由度系统的振动MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动第4章多自由度系统的振动目录4.1固有频率主振型4.2主坐标和正则坐标4.3固有频率相等的情形4.4无阻尼系统对初始条件的响应4.5质量、刚度的变化对固有频率的影响4.6无阻尼振动系统对激励的响应4.7有阻尼系统对激励的响应4.8复模态理论第4章多自由度系统的振动4.1固有频率主振型4.1固有频率主振型4.1.1频率方程4.1.2主振型4.1.3位移方程的解4.1固有频率主振型4.1.1频率方程mxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000设n自由度系统运动微分方程的特解为niptAxii,3,2,1)sin(即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为xAsin()ptMxKx04.1固有频率主振型4.1.1频率方程xAsin()ptAAAAAAAnnT1212将解式代入系统运动微分方程，并消去，得到sin()ptKAMA0p2KAMAp2()KMA0p2MxKx04.1固有频率主振型4.1.1频率方程BKMp2()KMA0p2特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。KM0p2式是关于p2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。4.1固有频率主振型4.1.1频率方程KM0p2AKAAMATTp2KAMAp2可得到AT前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有p20AKAAMATT0TMAA于是，得到0TKAA4.1固有频率主振型4.1.1频率方程频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为012pppn其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。对应于pi可以求得A(i)，它满足4.1固有频率主振型4.1.2主振型0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型4.1固有频率主振型4.1.2主振型AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为Ani()1AiiiTAA121()()4.1固有频率主振型4.1.2主振型主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。BKMp2BBBadj11特征矩阵逆矩阵BBIBadjBB乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi00)()(2iipAMK比较所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。AiiBadj任何非零列成比例4.1固有频率主振型4.1.3位移方程的解当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有sin()ptp2MAA0niptAxii,3,2,1)sin(()MIA012pMI102pLMI12p特征矩阵频率方程求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将pi值代入而求出.代入位移方程Mxx04.1固有频率主振型例题解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为Mmmm0000002K2020kkkkkkk将M和K代入频率方程KMp20202020222kpmkkkpmkkkpm例图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。4.1固有频率主振型例题299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609.1,2810.1,3559.0321解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵BKMpkpmkkkpmkkkpm2222202024.1固有频率主振型例题22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将p1值代入，得到第一阶主振型为A1100001873325092...AA()......23100000727404709100001100702115将p2p3值代入得到第二、三阶主振型为归一化后，即令4.1固有频率主振型例题ipAMK)(2=0主振型也可由式求得0)(2AMKpppp123,,代入Aii11123(,,)可得主振型4.1固有频率主振型例题例在前例中，若k1=0,求系统的固有频率和主振型。k10Kkkkkkkk020相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：Bkpmkkkpmkkkpm2220202()2740342222mpkmpkmp特征矩阵为可得到频率方程4.1固有频率主振型例题ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpkm12300848116676,.,.解出得到三个固有频率ppp123,,Badjkkkpmkpmkpmk222222()()()分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型AAA121100001000010000100000280806404100001780803904...,...,...4.1固有频率主振型例题AAA121100001000010000100000280806404100001780803904...,...,...这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。K04.1固有频率主振型例题例4.4有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力FT很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化。设m1=m2=m3=m，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。解：系统的质量矩阵是Mmmm000000其柔度矩阵可按柔度影响系数求出4.1固有频率主振型例题1121311311T11TlFlF首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出m1的受力图。根据平衡条件，得Tl4311m1TTFlFl431,423211311121由图中三角形的几何关系可解出1121314.1固有频率主振型例题3212421234TFl写出柔度矩阵系统的特征矩阵为222T210001000132124212341pppFmlpIMLL322422321pT4Fml得频率方程，即得4.1固有频率主振型例题L0()()28802求出各根，按递降次序排列1232222222(),,()于是得到系统的固有频率pTmlpTmlpTml12223212224212224(),,()4.1固有频率主振型例题为求系统的主振型，先求出adjL的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222LAAA123121101121,,321,,代入各阶主振型归一化第4章多自由度系统的振动4.2主坐标和正则坐标4.2主坐标和正则坐标4.2.1主振型的正交性4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵4.2.3主坐标和正则坐标4.2.1主振型的正交性n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。AAij,ppij,iiipMAAK2jjjpMAAK2对应于()AiT两边左乘转置，然后右乘Aj()()AKAAMAiTjiiTjp2()()AKAAMAiTjjiTjp2()()ppijiTj220AMA相减ijppij()AMAiTj0()AKAiTj04.2主坐标和正则坐标4.2.1主振型的正交性表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。()AMAiTj0()AKAiTj0ijij()AMAiTiiM(),,,,AKAiTiiKin123Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。pKMiniiTiiTiii2123()(),,,,,()AKAAMA令j=i,4.2主坐标和正则坐标4.2.1主振型的正交性由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。4.2主坐标和正则坐标4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵