振动波动习题课

一、简谐振动的振动方程kmω=弹簧振子的角频率j=t+cos()xAωTπ2mk==π21kmdxdtω22=+2x0微分形式一般形式振动的周期振动的频率振幅A和初相j由初始条件决定A=x0ωv0+222=ωjv0x0arctg()旋转矢量A与参考方向x的夹角：相位M点在x轴上投影点P的运动规律：旋转矢量xt)(cos=+ωAjAx0ωMPxω(t)+jA的长度：振幅AA的旋转角速度：A的旋转的方向：角频率ω逆时针方向单摆0lg在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。glTlg2200单摆结论gmfsin当时sin22mgdtdml角频率、振动的周期分别为：二、简谐振动的速度和加速度Ax+=cos()tωjA+=sin()tωωjv)ωA+=cos2(ωtja简谐振动的位置简谐振动的加速度简谐振动的速度三、简谐振动的能量动能：势能：机械能：222211sin()22kEmvmAtj222211cos()22pEkxmAtj2221122kpEEEmAkA三、简谐振动的能量动能：势能：机械能：222211sin()22kEmvmAtj222211cos()22pEkxmAtj2221122kpEEEmAkAAkEpE221kAEAo应用2.已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程，并作出振动曲线。3.已知振动曲线，求振动方程。1.已知振动方程，求振动周期、振动初相和任意时刻的位置、相位、振动速度、加速度等。4.证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写出振动方程。四、振动的合成——同方向同频率振动的合成物体同时参与两分振动：cosx222=+A()tjωcosx111=+A()tjω合成后仍为一谐振动：=+xx12x=cosω+A()tj221212212cos()AAAAAjj11221122sinsincoscosAAarctgAAjjjjj221212212cos()AAAAAjj11221122sinsincoscosAAarctgAAjjjjj=若2k12πjj合振动加强12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振动减弱12=AAA2AA1A2AA1A1A2AA||||2121AAAAAjjk12一般情况：=若2k12πjj合振动加强12=AAA+(2k+1)12=π若jj合振动减弱12=AAA2AA1A2AA1A五、波动波源和媒质1.产生机械波的条件2.机械波的分类横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行=Tul=ul1=T3.周期、频率、波长、波速之间的关系频率和周期只决定于波源，和媒质无关。六、波动方程1、写出波源的振动方程：ωcosy0=tAj+)(xxuyoB2、写出波动方程：正向传播=tωcosyxuA)(j+反向传播x=tωcosyuA)(j+波动方程的其他形式：txTA=cosπ()2lj+ykx=Acostω)(j+ytxA=cosπ()2lj+y已知坐标原点O点的振动方程为：cos[()]xyAtujcosyAtj时间延迟法Px*yxluAAOxtu相位落后法2cos[]yAtxjl2xjl2xjl表示x1处质点的振动方程1）.=x1(常数)x3、波函数的物理意义uyAωxt=cos)(1j+yto=tωcosyxuA)(j+表示在时刻的波形t1tt=(常数)12）.=txAωcos()1uyj+yxoytOxx=+uΔt´3)t与x都发生变化y1x.yutx´.这表示相应于位移y1的相位，向前传播了uΔt的距离。任意两点间的位相差：x2xuyoBx1AuyAωxt=cos)(1j+AuyAωxt=cos)(2j+B21212()()xxxxuujl应用1.已知波动方程，求振幅、周期、频率、波长以及波传播路径上各点的振动速度、相位、运动方向等量。2.已知波传播路径上某点的振动曲线（或振动方程）以及波长（或波速），求波动方程。3.已知某时刻的波形图和波速，求波动方程。应用:求波动方程1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。解题思路：a.写出坐标原点的振动方程cosyAtjb.用替换方程中的t()xtu——时间延迟法或在相位项中2xl——相位落后法cos[()]xyAtuj2cos[]yAtxjl1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2.已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。任意点振动曲线解题思路：任意点振动方程波动方程原点振动方程应用:求波动方程1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2.已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。3.已知某时刻的波形曲线，求波动方程。解题思路：某时刻的波形曲线时的波形曲线0t原点的振动方程波动方程应用:求波动方程波动能量和振动能量的同异点波动能量振动能量动能、势能周期性变化动能、势能周期性变化动能、势能同时一样大、一样小。动能最大时，势能最小反之也是。动能、势能的相位是相同的。动能、势能的相位是反向的。机械能不守恒，能量是传递的。机械能是守恒的。能量值是一个常量的。七、波的干涉相干波源：若有两个波源，它们的振动波源振动方程:1**2ssr11ry22Py.ωt=y111Acos)(+Sjcosω=+ty222A)(Sj方向平行、频率相同、相位相同或相差恒定，称这两波源为相干波源。P点振动方程:rπω+t=y211Acos)(11jlπωyt2+r=2222cos)A(jlrr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP点的合振动方程:1**2ssr11ry22Py.rr=222π11(ΔΦ)jjlωcosyp=tAj+)(2AAAAcosΦΔ=2++22211AP点的合振动方程:1**2ssr11ry22Py.πππ111Acoscossinsin=+2πrr()))(((211tg222AAA221rr)+222lllljjjjj)22ΦΔ=πrr(1l波程差2rr1=kl±波程差r2()r12k2=+1l±——干涉加强AAA=+21——干涉减弱AAA=21+2k(1)π=±)22ΦΔ=πrr(1l若π2k=±)22ΦΔ=πrr(1l若=12若：则有：jj例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为10cos(5)()4xtcm求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。解：1.10Acm4j2T20.4(/)5rads1T2.5()Hzt=0.2s时10cos(5)4xt52()cm50sin(5)4vt252(/)cms加速度2250cos(5)4at21252(/)cms合力Fma2252()N例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为10cos(5)()4xtcm求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。t=0.1s时50.14342221sin()24kEmAt2214mA23()4J2221cos()24pEmAt2214mA23()4J2212EmA23()2J例1.已知一质点（m=20kg）的振动方程为10cos(50.25)()xtcm求：1.振幅、周期、频率和初相；2.t=0.2s时质点的位置、速度和质点所受合力；3.t=0.1s时质点的相位、振动动能、势能和总能量。例2.一质点作简谐振动，振幅A=5cm,初始时刻质点处于平衡位置并向正方向运动，经0.25s后，质点第一次回到平衡位置，试写出质点的振动方程，并作出振动曲线。xt=0t=0.25s解：由图知，初相2j圆频率t40.25振动方程5cos(4)()2xtcm5cos(4)()2xtcmxt(s)x0.250.50t=0/12tT2/12tT3/12tT4/12tT5/12tT6/12tT7/12tT11/12tT8/12tT9/12tT10/12tT例3.已知一质点作简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该质点的振动方程。10-10-5x(cm)t(s)1解：-5-10x(cm)2353由图知10Acm23jt5/3513振动方程52cos()()33xAtcm例4.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为103,cm则第二个简谐振动的振幅为cm，第一、二两个谐振动的周相差为。解：用旋转矢量法解A1A2A=20cm103cmπ/6222112cosAAAAAj2220(103)220103cos610()cm10例4.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为103,cm则第二个简谐振动的振幅为cm，第一、二两个谐振动的周相差为。1022212122cosAAAAAj2221212cos02AAAAAj2j2A1A2A=20cm103cmπ/6例5.已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中A、B、C为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为D的两点的周相差；txA=cosπ()2lj+y振幅=A2B12TB2B2CluTlBC2Cl解：例5.已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中A、B、C为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为D的两点的周相差；距离波源l处,x=l,该点的振动方程为cos()yABtlC解：212xCDl例5.已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中A、B、C为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源l处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为D的两点的周相差；解：xD例6.一简谐波沿OX轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s时的波形曲线；解：2Acm3j2T2振动方程22cos()23xytcmt/sy/10-2m222/2yA/2ω例6.一简谐波沿OX轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s时的波形曲线；22cos()23xytcm以x=2m处为波源的波动方程:2cos[(')]23ytxcm1/umsTl原点处x’=-2m的振动方程22cos()23tcm02cos[(2)]23xytcm波动方程22cos[()]23ytxcm解：例6.一简谐波沿OX轴负向传播，波长为4m，周期为4s。已知x=2m处质点的振动曲线如图所示。（1）写出x=2m处质点的振动方程；（2）写出波动方程；（3）画出t=1s时的波形曲