§1.5-倒易点阵

上页下页结束返回第一章晶体结构本节主要内容:1.5.1倒格定义1.5.3倒格与傅里叶变换1.5.2倒格与正格的关系§1.5倒易点阵（倒格）1.5.4布里渊区上页下页结束返回第一章晶体结构倒格正格（点位）矢：332211anananRn321,,bbb倒格基矢倒格（点位）矢：332211bhbhbhKn晶体结构=布拉伐点阵+基元正格基矢正格一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。321,,aaa上页下页结束返回第一章晶体结构1.5.1倒格定义倒格基矢定义为：213132321π2π2π2aabaabaabΩΩΩ其中是正格基矢，321,,aaa332211bhbhbhKn),,(321为整数hhh与所联系的各点的列阵即为倒格。321aaaΩ是固体物理学原胞体积上页下页结束返回第一章晶体结构倒格基矢的方向和长度如何呢？1321π2π2dΩaab22π2db3b1b2b33π2db一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb1a2a3a上页下页结束返回第一章晶体结构对于二维晶格，利用倒格子基矢的定义计算倒格子基矢时，取为方向的单位矢。3a12aa3ak122bakS212bkaS其中S为二维晶格原胞面积的大小12Saa上页下页结束返回第一章晶体结构1.ijjibaπ2)ji(π2ji0Ωaaaba32111π2π2Ωaaaba13121π201.5.2倒格与正格的关系332211alalalRl332211bhbhbhKh其中分别为正格点位矢和倒格点位矢。hlKR和2.π2hlKR(为整数)上页下页结束返回第一章晶体结构hlKR)(332211alalal)(332211bhbhbh)hlhlhl(332211π2π23.ΩΩ*3π2(其中和*分别为正、倒格原胞体积)321bbbΩ*2113323π2aaaaaaΩCBABCACBA上页下页结束返回第一章晶体结构2113aaaa1aΩ1323π2aΩaaΩ*ΩΩ23π21131213aaaaaaaa4.倒格矢与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为。332211hbhbhbhK321π2hhhd(1)证明332211bhbhbhKh与晶面族(h1h2h3)正交。CBABCACBA上页下页结束返回第一章晶体结构BCO2a3a1aAhK设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为。321,,aaa332211,,hahaha由图可知：3311hahaOCOACA3322hahaOCOBCBCAKh2211332211)(hahabhbhbh0CBKh3322332211)(hahabhbhbh0所以332211bhbhbhKh与晶面族(h1h2h3)正交。上页下页结束返回第一章晶体结构321π2hhhd(2)证明的长度等于。332211hbhbhbhKdnX由平面方程：得：hhhhhKKhad11321hKbhbhbhha33221111hKπ2baΩcacΩbcbΩa2π2π2π在单胞坐标系中，cba,,c)ba(ΩclbkahKlkh上页下页结束返回第一章晶体结构1.5.3倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。rRrl上式两边分别按傅里叶级数展开：rKihhhKre)(lhRrKihhlKRreπ2lhRKlR是正格矢。hK一定是倒格矢。上页下页结束返回第一章晶体结构晶体结构正格倒格332211anananRn1.332211bhbhbhKn1.2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1上页下页结束返回第一章晶体结构已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结构正格332211bhbhbhKh正格基矢321,,aaa倒格基矢321,,bbb倒格213132321aaΩbaaΩbaaΩb2π2π2πijjibaπ2)ji(π2ji0上页下页结束返回第一章晶体结构aaaaiaa1jaa2jaaiaa21ijjibaπ2)ji(π2)(0ji例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。上页下页结束返回第一章晶体结构0π22111babaπ202212babajabiabπ2π221ijjibaπ2)ji(π2)(0jijaaiaa21aπ2aπ22211bhbhKh倒格是边长为的正方形格子。aπ2上页下页结束返回第一章晶体结构[另一解法]首先计算二维晶格的原胞面积：212Saaaaaiaa1jaa2jaaiaa21则倒格子基矢为：2122bkajSa1222bakiSaaπ2aπ2上页下页结束返回第一章晶体结构例2：证明体心立方的倒格是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：kjiaakjiaakjiaa222321332121aaaaΩ22222232aaaaaakjiaa222222222222aaaakaaaajaaaaikaja2222213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb上页下页结束返回第一章晶体结构321π2aaΩbkajaaa222232332121aaaaΩkjakjaaπ222π223jiabπ23kiabπ22倒格矢：jiabπ23kjabπ21kiabπ22同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。上页下页结束返回第一章晶体结构例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为232221321hhhadhhh证明：321π2hhhhdK由得：321321π2hhhhhhKd简立方：,,,321kaajaaiaaiaaaΩbπ2π2321jaaaΩbπ2π2132kaaaΩbπ2π2213法一：iabπ21jabπ22kabπ23上页下页结束返回第一章晶体结构232221hhha321321π2hhhhhhKd232221π2321hhhaKhhh332211321bhbhbhKhhhkhjhiha321π2iabπ21jabπ22kabπ23上页下页结束返回第一章晶体结构法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为，321,,aaa332211,,hahahadnX由平面方程得：dnhadnhadnha332211dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos上页下页结束返回第一章晶体结构dahnadahnadahna333222111,cos,cos,cos对于立方晶系：aaaa321321aaa且：dhnaadhnaadhnaa333222111,cos,cos,cos1,cos,cos,cos322212nanana12122122122hahahad232221321hhhadhhh上页下页结束返回第一章晶体结构1.5.4布里渊区1.布里渊区定义在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；上页下页结束返回第一章晶体结构对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?第n+1布里渊区：从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。2.布里渊区作图法晶体结构布拉伐晶格倒格点排列中垂面(中垂线)区分布里渊区倒格基矢321bbb、、332211bhbhbhKh正格基矢,321aaa、、上页下页结束返回第一章晶体结构aa例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、第三布里渊区。aaiaa1jaa2jaaiaa21jabiabπ2π221ijjibaπ2)ji(π2)(0ji上页下页结束返回第一章晶体结构ij第一布里渊区第三布里渊区第二布里渊区aπ2aπ2上页下页结束返回第一章晶体结构布里渊区的面积=倒格原胞的面积高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。第一区第二区第三区布里渊区的简约区图布里渊区的扩展区图ija2a2上页下页结束返回第一章晶体结构第一区第二区第三区第四区第五区第六区第七区第八区第九区第十区上页下页结束返回第一章晶体结构二维正方晶格的布里渊区的简约区图上页下页结束返回第一章晶体结构abjbaiaa21jbbiabπ2π221ijjibaπ2)(π2ji)(0jiiaa1jba2倒格仍为矩形。例2：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为。ba，解:上页下页结束返回第一章晶体结构ij第一区第二区bπ2aπ2上页下页结束返回第一章晶体结构例3：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。jiaakiaakjaa222321解：面心立方正格基矢：213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb332141)(aaaaΩ倒格基矢:kjiakjiakjiaπ2π2π21a3a2aiajaka上页下页结束返回第一章晶体结构面心立方的倒格是边长为4/a体心立方。kjiabkjiabkjiabπ2π2π2321倒格基矢：已知体心立方正格基矢:kjiaakjiaakjiaa222321000π2O,,a：X001π2,,aX：L212121π2,,aL：K04343π2,,aK：上页下页结束返回第一章晶体结构例4：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：332121)(aaaaΩjiakiakjaπ2π2π2213132321π2π2π2aaΩbaaΩbaaΩb倒格基矢：iajaka1a3a2a上页下页结束返回第一章晶体结构体心立方倒格是边长为4/a的面心立方。jiabkia