不等式证明之放缩法

不等式证明-----放缩法灵宝五高高二数学组教学目标•结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——放缩法；了解放缩法的思考过程、特点.•教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程.•教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.一.复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：综合法:分已知条件⇒⇒⇒结论结析法:论已知条件由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？（1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程（2）“两边凑”综合分析法反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反反证法的证明过程：•否定结论——推出矛盾——肯定结论，•即分三个步骤：反设—归谬—存真反设－－假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.归谬－－从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.存真－－由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.•在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：•要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大)•要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小)•这种证明方法,我们称之为放缩法。•放缩法的依据就是传递性。放缩法放缩法1、一般从不等式的结构形式可观察出放缩的可能性。2、放缩时应放缩适度3、放缩的一般方法：常用的方法•①添加或舍去一些项•②将分子或分母放大（或缩小）•③应用“糖水不等式”•④利用基本不等式•⑤利用函数的单调性•⑥利用函数的有界性•⑦绝对值不等式•⑧利用常用结论(2)放缩法的注意事项①舍去或加上一些项，如:②将分子或分母放大(缩小)，如:22131(a)(a);242＞211,kkk1＜2111212,,(kN*,k1)kkk1kkk1kkk1＞＜＞＞特别注意：放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小。几个常用的一些放缩结论：20012312111111212122121,(.)()()aambbmabmbbmaamnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn①②③④⑤21,,,,3caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd21.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加2.111abab例已知a,b是实数，求证:a+bab法１：bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边0ba111ba1||11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法２：0,abab1111111111||abababababab||11baabab法３：函数的方法*2.)3..:2(nnn求证：111（n+1-1）1+3n例2*1222(1),21kkkNkkkk1111232[(10)(21)(32)(1)]2.nnnncbacacababa2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例4:巳知：a、b、c∈，求证：R略解补充例题:mccmbbmaamcbaABC:,,,,.1求证为正数且的三边长是已知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf)()(,)(mbaba)()(.),0()(),0,0(1)(:又上是增函数在易知设函数证明)(23,,.2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx求证不全为零已知实数22)2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx：证明2,22222xzxzxzzyzyzy同理可得)(23)2()2()2(,,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，，zyx所以三式相加得式取不到等号故上述三式中至少有一不全为零由于练习：设x＞0,y＞0,若则A、B的大小关系为_______.【解析】∵x＞0,y＞0,答案：A＜BxyxyA,B,xy2x2y2xyxyxyAB.xy2xy2xy2x2y2＜练习：设则()(A)M=1(B)M＞1(C)M＜1(D)M≥1【解析】选C.101010111111M2212221，101010111111M2212221…＜101010101010211121.2222共个…作业P29习题2.32