第十二章--离散小波变换

DigitalSignalProcessing第十二章离散小波变换DigitalSignalProcessing12．1尺度和位移的离散化方法小波函数尺度离散化方法,1()(),0,~attaaa210120000000,1,{...,,,,,...}jaaajZaaaaaa或幂级数基底a0的取值反映了尺度离散化程度a0越接近1，离散化程度越低,越大于1，离散化程度越高离散化程度高，从离散小波变换结果恢复（重建）分析信号的难度就越大，对母小波的要求越高尺度参数离散化的常用幂级数基底a0=2DigitalSignalProcessing小波函数位移离散化方法位移的离散化间隔001aa00,kkZ位移的离散化间隔01jaa00()()jjatataa在时间方向扩展倍00,jkakZ00jaDigitalSignalProcessing小波函数离散化00000,000,,()()(),jjjjjaaakaaktaatktjkZ00*00,(,)(,)()()jjxxakWTjkWTakxttdt离散小波变换离散小波变换中的“离散”含义是指对尺度参数和位移参数进行离散化，并没有对分析信号和小波函数中的时间变量进行离散化DigitalSignalProcessing尺度和位移离散化的规则DigitalSignalProcessing12．2框架理论框架定义(),ktkZ0AB222()(),()()kkAxtxttBxt2(),()ktkZLR称构成空间的一个框架[()](),()kkTxtxtt框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意味着任一信号按基函数展开时，其展开系数不一定具有唯一性(),ktkZDigitalSignalProcessing对偶框架1*()(),kktFFtkZ22211()(),()()kkBxtxttAxt原函数的重建()(),()()jjjxtxttt()(),()()jjjxtxtttDigitalSignalProcessing对偶框架的计算和原函数的重建当时1AB()()jjtt{(),}，jtjZ构成正交基信号分解具惟一性()(),()()jjjxtxttt当时，紧框架1AB信号分解不具惟一性1()()jjtAt1()(),()()jjjxtAxttt最经济重建公式DigitalSignalProcessing当时AB2()()jjttAB对偶框架的一阶近似2()(),()()()2(),()(),jjjjjjxtxtttRxtABBAxtttRABBA近似重建公式0112()(),()()2()()(),()(),()()jjjNNjNjjjxtxtttABxtxtxttxtttAB精确重建递推公式DigitalSignalProcessing小波框架小波框架的定义尺度、伸缩离散化构成的函数簇00,(),,jaktjZkZ00222,()(),()()jakjkAxtxttBxt00,0(),,jakABtjZkZ当构成小波框架小波框架的频域表示00002lnln1220ˆ()aaAdBDigitalSignalProcessing对偶小波框架和信号重建当时1AB当时，紧框架1AB0000,,()()jjakaktt00000000,,,,()(),()()()()jjjjakakakakjkjkxtxtttWTtt00001,,()()jjakaktAt000000001,,1,,()(),()()()()jjjjakakjkakakjkxtAxtttAWTtt当时AB0000,,2()()jjakakttAB0000,,2()()()jjakakjkxtWTttABDigitalSignalProcessing连续小波变换离散化参数和框架的关系21/42/22()(1)3ttteDigitalSignalProcessing小波框架的性质满足框架条件的小波函数必然是允许小波离散小波变换不具备时移不变特性DigitalSignalProcessing离散小波的重建核方程00,0000000,0000000000,00000*000*,,*,,00,1(,)()()1()()()1()()()1()(,;,)jakjjjakjjjakjjxakakjkakakjkakjkWTakxttdtAWTtttdtAWTtttdtAWTtKjkjkA000000,000000*00,,,(,;,)()()(),()jjjjakakakakKjkjkttdttt正交小波基：00(,;,)(')(')KjkjkjjkkDigitalSignalProcessing12．3小波级数小波级数离散化尺度的幂级数基底和位移离散化参数的离散小波变换002,1a定义R小波和Riesz基00,2,,()()(),,jjjkkaktttjZkZ2,()jkclZ222,,,,,()jkjkjkjkjkAcctBc,(),,jktjZkZR小波与框架小波相比，具有更高的要求DigitalSignalProcessing小波级数表达式,,()()jkjkjkxtdt对偶R小波,','(),()(')(')jkjkttjjkk,,(),()jkjkdxtt,,()(),()()jkjkjkxtxttt,,()(),()()jkjkjkxtxttt计算小波级数的关键是寻找R小波和求解对偶小波DigitalSignalProcessing小波分类正交小波是一个R小波()t满足正交性条件,','(),()(')(')jkjkttjjkk正交小波具有自对偶,(),,jktjZkZ,,()()jkjktt小波级数系数,,(),()jkjkdxttDigitalSignalProcessing半正交小波是一个R小波()t仅在尺度方向满足正交性条件对偶小波,(),,jktjZkZ小波级数系数,',(),()(')jkjkttjj2ˆ()ˆ()ˆ(2)kk,,(),()jkjkdxttDigitalSignalProcessing半正交小波是一个R小波()t尺度和位移方向均不满足正交性条件对偶小波与原R小波在尺度和位移方向正交,(),,jktjZkZ小波级数系数,,(),()jkjkdxtt,','(),()(')(')jkjkttjjkkDigitalSignalProcessing小波函数的重要特性正交性适合重建精确度和数据压缩紧支撑性减少截断误差影响信号重建精确度线性相位性小波函数具有奇对称或偶对称性减少相位失真DigitalSignalProcessing12．4二进小波变换尺度和位移都离散化的离散小波变换牺牲了位移不变性二进小波变换只对尺度进行离散化处理位移仍连续变化00/22,,()()2(),~2jjjjattt二进小波变换在信号的奇异性检测和图像处理方面有着广泛应用DigitalSignalProcessing二进小波变换定义/2,,(,)()*()2()()2jxkkjtWTjxttxtdt二进小波变换定义成卷积形式，CWT是内积形式'()()tt定义/2,,/2,(,)()*'()2()'()22sgn()(),'()jxkkjjktWTjxttxtdtjxttDigitalSignalProcessing二进小波的逆变换二进小波构成框架小波时222,()(),()()jjAxtxttBxtA=B=1A=B!=1A!=B,,()()jjtt,()(,)()xjjxtWTjtd,,()()jjtt1,()(,)()xjjxtAWTjtd,1()(,)()xjjxtWTjtdABDigitalSignalProcessing二进小波的其它要求二进小波以2为基底的尺度二进剖分之后，要求小波尺度函数的频谱能够覆盖整个频率轴1012,2,2,...,(),(),()...ttt小波函数的频域局域化指标垐**2,()22,2222jjjjjt中心频率和带宽之比*ˆrDigitalSignalProcessing小波尺度伸缩后覆盖频谱情况r=3/2,正好无缝对频率轴实现二进剖分ˆ1设r3/2,设r=1r3/2,设r=2垐**21221221222,2222313131313131....44,4422,2211,11...222222222222....4,82,41,2.......8,44,22,1jjjjjzjjjjjjjjj...相邻二进小波之间的频带相互重叠相邻二进小波之间的频带存在间隔MexicanHat小波*ˆ/0.25/0.2251.11rDigitalSignalProcessing12．5信号的多分辨率分析框架理论给出了正交小波需要满足的条件如果找到正交小波可将空间的函数转换成空间的数列2()LR2()lZ,,()()jkjkjkxtdt如何寻找频率特性好的正交小波？多分辨率分析MRA不但为离散小波变换提供了快速算法，也为正交或双正交小波基的构造提供了一种通用方法DigitalSignalProcessing信号的频域二进剖分MRA在不同尺度（频域区间）对信号进行观察大尺度（长时间窗）观察信号全貌或信号的缓变成份，或对信号进行粗略逼近小尺度（短时间窗）观察信号局部或信号的快速变化成份信号在频域的二进剖分（频率已归一化）DigitalSignalProcessing频域剖分过程就是不断滤波过程DigitalSignalProcessing频域剖分至第J级时，信号的分解形式120JJVWj是各级分解的细节成份，由低通滤波得到Vj是各级分解的近似成份，由高通滤波得到Wj与WJ’正交，频域互不重迭，频域的分解具有恒Q特性ijWW*132jj12jjB*23jjBQDigitalSignalProcessing信号的多分辨率分析多分辨率分析指满足下列条件的一个空间序列,jVjZ一致单调性逼近性尺度伸缩规则固定尺度下的平移不变性正交基存在性012...VVV20,()jjjZjZVVLR1()(2),jjxtVxtVjZ