鲁棒控制理论第二章

2020/3/4鲁棒控制理论第二章信号和系统的范数2020/3/4描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的信号的大小来表示。本章考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）介绍系统传递函数的范数给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关系。2020/3/42.1信号的范数范数的4条性质1、2、3、4、0u00uutt，,auauaRuvuv考察从（-∞，∞）映射到R的信号。假定它们是连续分段的，当然在t0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。三角不等式2020/3/4几种范数的定义1-范数定义2-范数定义∞-范数定义功率信号*u的平均功率pow(u)1:uutdt1/222:uutdt:suptuut21lim2TTTutdtT1/221:lim2TTTpowuutdtT信号的时间累积量信号所携的总能量信号的最大幅值2020/3/4范数之间的关系问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？*如果，那么u是一功率信号，且证明：假定u的2-范数有限，则当，上面的不等式右边趋于02u0powu2221122TTutdtuTTT2020/3/4*如果u是一功率信号且，那么证明：因成立，令，得到所求。upowuu2221122TTTTutdtudtuTTT2020/3/4如果，且，那么因而有证明：1uu1/221uuu2u21utdtututdtuu2020/3/4集合包含关系(Venn图)pow2∞12020/3/4例1它的1-范数有限：它的2-范数无限，因为1/t的积分在区间[0,1]是发散的同理，也不是功率信号又因u1是无界的，因此||u1||∞是无限的10,01,010,1tutttt111012udtt11u1(t)t2∞12020/3/4例2它的1-范数存在它的2-范数存在它的∞-范数不存在420,01,010,1tutttt11u2(t)t2∞112140143udtt1222012udtt222u2020/3/4例3它的1-范数不存在它的2-范数不存在它的∞-范数存在30010tuttt0113101udt123201udt31u2∞12020/3/42.2系统的范数考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模型令表示传递函数，即G的Laplace变换。系统的性质：因果性(Causal):现在系统的输出y由过去的输入决定的t0，G(t)=0有限维：是实有理函数稳定性正则性*ytGuGtudˆGsGuyˆG2020/3/4稳定的如果在闭右半平面（Res0）解析，或在Res0无极点正则的Proper如果是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）严格正则的StrictlyProper如果（分母的阶次大于分子的阶次）双正则的Bi-proper如果和两个都是正则的（分母阶次等于分子介词）ˆG()ˆGjw()ˆ0Gjw=ˆG1ˆG-()11101110ˆ,,0,1,,0,1,mmmmnnnnijbsbsbsbGsasasasaabinjm----++++=++++?=LL2020/3/4Parseval定理设，记则传递函数的范数1-范数传递函数的范数ˆG()2ftLÎ()()()ˆdjtfjftetFfww¥--?==ò221ˆ2ffp=()1ˆdGGjwwD¥-?=ò)2020/3/42-范数∞-范数()1/2221ˆ:d2GGjwwp¥-?骣÷ç=÷ç÷÷ç桫ò)()ˆ:supGGjww¥=)()()1/21/2221ˆ:dd2GGjGttwwpゥ-??骣骣÷ç÷ç==÷÷çç÷ç÷÷ç桫桫蝌)ˆG注意：如果是稳定的，由Parseval定理，等于复平面的原点到的Nyquist图的最远点的距离，也是的Bode幅频特性图的峰值。是次可乘的ˆGˆGˆˆGHGH¥¥¥£))2020/3/4传递函数范数的存在性问题：什么时候这两个范数是有限的？引理1：的2-范数是有限的，当且仅当是严格正则的，且无极点在虚轴上；的∞-范数是有限的，当且仅当是正则的，且无极点在虚轴上。ˆGˆGˆGˆG2020/3/4证明：假定是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T，的Bode图必定高于的Bode图，即但的2-范数有限，且其2-范数等于，因此有有限的2-范数。其余的证明与此类似。ˆG()1KTs+ˆG()1KTs+2KTˆG()()ˆ1,KTjGj看看更详细证明下一部分内容2020/3/4引理1的更详细证明关于2-范数充分性：若严格正则，且无极点在虚轴上，则若取令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有ˆG()ˆlim0Gjww=()ˆsupGjww?()ˆ,,01KHsTKTs=+()22ˆ1KHjTww=+()ˆsupHjKww=()ˆlim0Hjww=()()ˆˆ,HjGjˆˆHG蕹()1/21/222122211ˆdtg2122KKKHTTTTwwpwp¥¥--?-?骣骣鼢珑鼢===?珑鼢珑鼢珑+桫桫ò2ˆG\?ωˆHˆG充分性得证。2020/3/4必要性：（反证法）若存在虚轴上的极点，则在极点处则若不是严格正则，则若是双正则的，若不是正则的，必要性得证。关于∞-范数，类似可得证。ˆG()ˆGjw2ˆG=?ˆGˆG()()2ˆ0ˆˆnnbGjaGGjˆG2020/3/4如何计算2-范数按定义假设是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范数有限），有最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。因为是严格正则的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，等于在它的左半平面极点上的留数的和。ˆG()()()()()2221ˆ21ˆ21ˆ2jjGGjdGsGsdsjGsGsdsjwwppp¥-?¥-?==-=-òòò)))шG22ˆG()()ˆGsGs-)2020/3/4例4已知在左半平面的极点是在这一极点上的留数等于因此()()ˆ11,0Gsstt=+()()ˆGsGs-)1st=-11111lim112ssssttttt?骣÷ç+=÷ç÷÷ç桫-++212Gt=)2020/3/4如何计算∞-范数计算∞-范数需要搜索。设一系列稠密的频率点的估计值为另一方法是通过解方程找到的最大值的位置。因为是有理的，这个导数可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。{}1,,NwwLˆG¥()1ˆmaxkkNGjw＃()2ˆd0dGjww=()ˆGjwˆG2020/3/4例5考察观察其Bode幅频特性图：当，它是递增的（高通），反之，它是递减的（低通）。于是()1ˆ,01asGsabbs+=+ab³,ˆ1,ababGab¥ì³ïï=íïïî2020/3/42.3输入-输出关系问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输出会是多大？考察一个线性系统，输入为，输出为，传递函数为，假定它是稳定的和严格正则的。结果概括在表2.1和表2.2中uyˆG2020/3/4表2.1对两种输入的输出范数和pow()()uttd=()()sinuttw=2yy¥()powy2ˆGG¥()ˆGjw()1ˆ2Gjw0¥2020/3/4表2.2系统增益2yy¥()powy2uu¥()powu2ˆGˆG¥0¥¥¥ˆG¥ˆG¥£1G2020/3/4两表的典型应用及意义假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求被控系统是稳定的，因而传递函数是稳定的。通常情况下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。ˆG2020/3/4定理：设稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的u，有(1)(2)证明：(1)由，且(Parseval定理)，有即ˆG22ˆyGu¥£22ˆyGu¥£表2.2的（1，1）项表2.2的（1，2）项()()()ˆˆysGsus=)22ˆyy=()()()(){}()(){}()2222222222222222211ˆˆdud2211ˆˆsupudsupud22ˆˆyyyjGjjGjjGjjGuGuゥ-??ゥ-??¥¥===禳镲镲?睚镲镲铪==蝌蝌)))))22ˆyGu¥£22ˆyGu¥£2020/3/4下面证明是最小上界选择，使不失一般性，设。选择，满足则当ˆG¥0w()()0ˆGjGjww¥=)00w*u()*00,20,ujpwwewweweìïï-+ïï=íïïïïî或其它w0wee2pe*u0()()()()0000222*222221ˆd211ˆdd222212ˆ222yGjujGjGjGGwewewewe¥¥--++---¥¥==+蛔=ò蝌))*22ˆ0,yGue¥?*21u=e充分小的正数，使得()()0ˆGjGjww»)()00,wwewe?+2020/3/4证明：(2)由或()()()ytGut=*()()()()()()()1/21/2221/21/2222222dddddˆ,ytGtuGtuGtuGuGutttttttttttt¥-?ゥ-??ゥ-??=-?骣骣鼢珑=-鼢珑鼢珑桫桫==ò蝌蝌Cauchy-Schwarz不等式Parseval定理22ˆyGu¥£22ˆyGu¥£22ˆyGu¥£2020/3/4下面证明是最小上界选择则有则所以2ˆG()()22,1GtutuG**-==()()()()()2ddytGtuGGtGtttttt¥*-?¥-?=--=-òò()()()22222210ddˆGyGGGGGyttttゥ-??¥-==-==?蝌22ˆyGGu¥*¥＃)2ˆyGu¥*¥=