鲁棒控制理论第六章-2

鲁棒控制理论第六章H∞标准控制四、状态反馈H∞控制状态反馈H∞控制1.基于Riccati不等式的状态反馈解2.基于Riccati方程的状态反馈解3.状态反馈的一般解4.状态反馈的完全解5.基于LMI的状态反馈解基于Riccati不等式的状态反馈解1211112121111212111121.1.1.100,,,,,,,.nrmxAxBwBuazCxDwDubyxcABBGsCDDxRwRzRABBCDD设广义被控对象的状态空间实现为：即其中和为具有相应维数的常阵12122111211112,,0,00ABuKxAAAAABDrankDpHDHD对上述广义被控对象做如下假设：假设为系统可镇定的一个必要条件。因为若不能稳定，那么，就不可能存在使闭环内稳定的反馈控制律。因而，控制问题就不可能有解。假设表明，控制目标函数中不显含噪声干扰项。如果条件不满足，那么，可以通过“回路成形”技术，将控制问题等价地表示为对应于某一个能稳定；列满秩。满足的广义被260HRictAcai控对象的标准控制问题，或者直接利用文献41和给出的基于不等式的解法。也就是说，假设只是为了技术处理上简单而引进的，并不影响问题的一般性。10对于系统和给定的，所要求解的问题为：2,231pnzwzwuKxKRABKGsGswz设计状态反馈控制律使得闭环系统内稳定稳定且其中表示从到的闭环问题4.：传函阵。22111221112214.4.0KKzwKKAxABKxBwazCDKxbABKBABGsCDLCD将式代入系统，并利用假设，有：由此得：1212112112121221211121221211100550361TTTTTTTTTTAAPRiccatiAPPAPBBPCCPBCDDDBPDCPKDDBPDC设广义被控对象满足假设、，则问题4.有解的充分必要条件是存在正定阵满足不等式若不等式有解，则使闭环系统内稳定，且式成立的状态反馈阵由定理4.：下式给出：定理4.1的证明22112111112112121221211121212212110300708KKTTTKKKKTTTTTTTTKKTTTKAABKAPPAAPPBBPCCPAAPPBBPCCPBCDDDBPDCMMMDKDDBPDC闭环系统内稳定等价于为稳定阵。由定理可知，为稳定阵，且式成立的充分必要条件是存在，满足整理得其中定理4.1的证明(续)37085.50683KKKAPPRiccatiPPA如果存在反馈阵，使得稳定，且式成立，则式有正定解，进而由式可知，满足不等式如果式有正定解，令等于式右端，则式成立，必要性。等价于式7成立。故稳充分定，且式成性。立。证毕。1211230TDCDIA假设正交条件2121212213103.6TTTTTDCDDIzuxzxCCxuuA假设的正交条件和，是为使评价信号中不出现和的交叉项，此时使推导简洁。若不满足正交条件，可用矩阵变换方法将其化为上述形式。详见文献19的节211221121234.14090.10.1TTTTTRiccatiPAAPPBAABBBPCCPKBAP在假设下，有解的充分必要条件是不等式有正定解若上式有解，则状态反馈阵由下、、式给出推论问题0rank.000.10141nnrnnTTQRLRLrLxxRxQxQLL0设为实对称阵，为实矩阵且若对于满足的任意非零向量，成立，则存在正数，使得对所有引理成立。1114200DDA；假设120D为前面所讨论情形的一个特例。此时，为证明状态反馈控制律存在的条件的必要性，需要如下引理：引理4.1的证明11121222222200001200,0,000,0nnTTTTnnrTTTTnrLTRLTIQLLQIQTQLLTQQLxxRxTyyRxLxyTQTyQyyRyQ因为行满秩，所以存在非奇异方阵，使得。对于给定的，的充分必要条件为成立。而任意满足的均可表示为其中，为任意非零向量。故由假设得：即1111222121max111222120.00130130.TTTTTTQLLTIQQQQQQQQQLchurLS0所以，由，的充要条件为令则对于所有，式显然补定立，理成即证毕。2211221112421004.24.11401431152TTTTTRiccatiPAAPPBBBBPCCBPAPAK对式的广义被控对象，在假设下，有解的充分必要条件是存在正数，使得不等式存在正定解。若式有正定解，则使闭环系统内稳定，且式成立的状态反馈控制律由、下式给出定理问题定理4.2的证明12141121616xABKxBwbAaAzCx在假设和下，由广义被控对象和构成的闭环系统为定理4.2的证明（续）22211112111210141501.TTTzwzwzwPABKABKPPBBPCCABKGsGsCsIABKBGs。设存在，使式有正定解，且由式给定。则式14成为故由定理4.3.9即上次膜片中，为稳定阵，且其中所以，充分性定理10定理4.2的证明（续）202022001101120001101120200134.3.90017170,04.100,0TTTTTTTTnTTKABKPPABKABKPPBBPCCQPAAPPBBPCCLBPLxBPXxRxQxQLL设存在，使得稳定，且式成立，则由定理，存在正定阵满足令必要性。定理则由式可知，对于任意满足的非零向量成立。根据引理，存在，使得02000112201100114TTTTPAAPPBBBBPCCP即令，则满足式。证毕。