鲁棒控制理论第六章-1

鲁棒控制理论第六章H∞标准控制前言•本章在标准框架下讨论H∞控制问题的求解。•H∞控制理论可分为频域方法和时域方法。本章开始介绍时域方法。•时域状态空间方法包括Riccati方法和LMI(LinearMatrixInequality，线性矩阵不等式)方法。•本章将重点介绍理论上成熟的Riccati方法（包括状态反馈求解方法和输出反馈求解方法），并对近年非常流行的LMI方法进行必要的讨论。本章内容•一、问题的提出•二、H∞标准控制问题•三、Riccati方程和H∞范数•四、状态反馈H∞控制•五、输出反馈H∞控制•六、参数不确定系统的鲁棒H∞控制•七、可靠H∞控制一、问题的提出•根据LQ最优调节器的性质，LQ（LQG）状态反馈系统的幅值稳定裕度为0.5~∞，而相角稳定裕度大于等于+-60o.•LQG控制系统具有一定的相对稳定性，但LQG控制系统甚至LQ最优调节器对被控对象的模型摄动（模型误差）的鲁棒稳定性在某些场合很差。–如果被控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅知道其模型属于某个已知的模型集合；–外部信号（包括干扰信号、传感器噪声和指令信号等）不是具有已知特性（如统计特性或能量谱）的信号，也仅知道其属于某个已知的信号集合。•在以上两种情况下，控制系统的设计如果采用传统的H2性能指标，在某些场合不能满足实际的需要。例0022023,12,0,(6.1)101,,11.021,0,(6.2)1522524sSISOPsssxtAxtbutxxytCxtABCJytrutdtrJuKxtKqqqq考虑被控对象，其传递函数为其状态空间最小（能控、能观测）实现为，其中取二次型性能指标为可求得使性能指标达极小得状态反馈控制律为其中1,4.(6.1)(6.2)qrLQo根据最优调节器的性质，由和构成的状态反馈闭环系统具有大于0.5的稳定幅值裕度，大于等于60的相角稳定裕度.0,,.10.1101(4.1.2).oPsPssPssssPjPjsbbb下面考虑如下形式的模型摄动：其中为摄动后的实际的被控对象传递函数，为模型误差，其中为一实数亦即对于，有上述摄动的状态空间实现表现为矩阵的摄动由摄动后的被控对象的状态空间实现和式的闭环反馈控制律，构成一个闭环系统可以求得该闭环系统具有两个闭环极点，这121220,120.50rpqpppp两个闭环极点当控制能量较小时，可见，当时，和均为实数，且越小，越大,也就是说，被控对象的微小模型摄动会使该闭环系统具有很大的不稳定的正实极点.•H∞控制理论发展–1981年，Zames提出以控制系统的某些信号间的传递函数（矩阵）的H∞范数作为优化性能指标的设计思想–1982年，Doyle针对H∞性能指标发展了“结构奇异值”来检验鲁棒性，极大程度地促进了以∞范数为性能指标的控制理论的发展–Youla等人提出的控制器参数化，使Zames的H∞性能指标以及Doyle的结构奇异值理论揭开了反馈控制理论的新篇章–H∞控制理论蓬勃发展：从频域到时域、定常系统到时变系统、线性系统到非线性系统、连续系统到离散系统、确定性系统到不确定系统、无时滞系统到时滞系统、单目标控制到多目标控制……–目前线性系统的H∞控制理论已经基本成熟，形成了一套完整的频域设计理论和方法，而时域状态空间的Riccati方法和LMI方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计算机辅助设计等优点而倍受重视二、H∞标准控制问题•问题的定义•工程实际中，许多控制问题可归结为H∞标准控制问题–干扰抑制问题–跟踪问题–鲁棒稳定问题问题的定义GKwzyu121111222122,,,,.nmqrpGxAxBwBuzCxDwDuyCxDwDuxRzRyRwRuR广义被控对象的状态空间实现为:其中相应的传递函数矩阵为1211122122111122212211122122111122221,zwABBGsGsGsGsGsCDDCDDGsGszwwGsGsGsyuuuKsywzTsLFTGKGGKIGKG即我们有：于是，图中从到的闭环传递函数阵为图1•定义1（H∞最优控制问题）•定义2（H∞次优控制问题）注：0minzwzwKKTsHTs求一正则实有理控制器，使闭环系统内稳定且使传递函数阵的极小，即0zwKTs求一正则实有理的，使闭环系统内稳定，且使其中01.HH如果以上两种控制问题有解，我们可以通过逐渐减小去逼近，即由次优控制问题的解去逼近最优问题的解2.不失一般性，常取=13.H问题难以求解。本章主要讨论次优控制问题的各种解法，并将其称为标准控制问题干扰抑制问题G0Kdru+—y22,,1.DddWsvvHvWsvWsd其中是稳定的实有理函数，称为权函数，用来反映在期望的频段上对干扰的抑制能力。上式表示一个能量有限的干扰信号通过权函数形成系统的干扰输入222sup,1KsJyvHv设计控制器，使闭环系统内稳定，且使极小10222222222sup,1sup,1sup,1yvyvyvyvyIGsKsdTsWsvyvHvTsWsvvHvTsWsvvHvTsWs2yvDdyHTsWsHH可见，对于给定集合中的任意，使的范数极小的问题，便转化为使的范数极小的问题，从而，干扰抑制问题转化为图1所示的标准控制问题。图20000000023zyvyWvWGGuGrurzWvGruuKyWGGGsWGGHvwr注意到图干扰抑制系统中，，于是有由此得广义被控对象的传递函数阵其标准控制的结构框图如图所示，图中外部输入信号WKG0G0Gzyuvrw++图3跟踪问题PC2ruvC1Ww+图412121222,,,1PsCCuruCrCvCCvrRrr被控对象，分别为前馈和反馈控制器。由于增加了设计的自由度，也称为二自由度系统。为控制信号，由图有参考输入被跟踪信号并不是一个已知确定信号，而是属于某个能量有限信号的集合12222222222222-.sup,CCrvrvurvzuzzwHw设计的目标是：选择控制器和，使跟踪误差取极小。但追求这一目标所得的控制器会成为一非正则的控制器，控制信号的幅度成为无穷大，无法实现。若在目标函数中增加一个能量的惩罚项，便可保证控制器成为正则有理函数。因此，在跟踪问题中取作为目标函数，其中为权因子。若令，则上述目标函数等于于是跟踪问题归结为目标函数1的极小化问题。121112122122110,00,0rvHzurywuvrvWPzuIwruCCyrWuvvPGKGGGKCCGGWG为将跟踪问题化归为标准控制问题，取为被控输出，为量测输出，为外部输入信号，为控制信号。可得广义被控对象和控制器方程为相应的和为：1221220,,,0PWGGGIPH其标准控制的结构图如图5所示。WPC1C2IwrG+—r-vuzrvy++uK图5鲁棒稳定问题00,APrPsPssjrj，s0PsKsPsyr图60,PsrsKsPsAPrKs设、和控制器给定。若，该系统是稳定的，则称系统是鲁棒稳定的，且称为鲁棒稳定控制器。定义3106GsIKsPsKsRH由定义知，图所示系统鲁棒稳定的必要条件是标称闭环系统=0是稳定的。此条件等价于传递函数矩阵sGs图71067.1(6.3)GsRHsRHNyquistrsIKsPsKs图所示的系统可以等价地表示为图因此，如果，且，则由小增益定理判据可知，该系统鲁棒稳定的一个充分条件是：0006011GrGrsGsKsAPrPsAPrsPs这是因为如果上式成立，则即小增益定理成立。事实上，可以证明以下定理：设和，给定，且任意，的在闭右半平面的极点个数与的相同，则图所示闭环系统鲁棒稳定的充分必要条件是当时，标称系统稳定，且(6定理.3)式成立011001008,1zwzwrIGIPHKGwzTLFTGKrIKPKrKIPKHTrIKPK若定义广义被控对象为，则鲁棒稳定问题化为图所示的标准控制问题，即选择使稳定，且使从到的传函阵的范数满足wzuyKrI0PG图8三、Riccati方程和H∞范数•Hamiltonia矩阵与Riccati方程的解•H∞范数的计算•Riccati方程与H∞范数•Riccati不等式与H∞范数Hamiltonia矩阵与Riccati方程的解220TTTnnnnnpqnTTTPAAPPBBPRiccatiHABBHCCAACBRRCCRCB考虑代数方程和相应矩阵，、、均为常阵，且为列满秩，行满秩定义411*12200TnTnnnHJHJHJHJHIHHamiltoniaJJJJI如果阵满足：则称为矩阵，其中，称为逆反对称矩阵。0HamiltoniaRiccatiIPIHP矩阵和方程的关系：,1,2,,,1,2,.iiHamiltoniaHHHinHinH若矩阵没有虚轴上的特征值，则矩阵具有性质：若则即的特征值以虚轴、实轴为对称。引理12222111121112121222122,,0:,0,06.40Re0,TTTnnHnnHHHnnHHHHHABBABCAHCCAJHJordanHJJCJH若系统能稳定，能检测，则矩阵没有虚轴上的特征值，且的形为、即存在的非奇异特征向量阵使有其中是由的对角元素1122-1JordanWW乘以构成的形矩阵。且和非奇异。引理2定理2121110Re0,,,00TTTTTPAAPPBBPCRiccatiPPWWABBPABCACACP代数矩阵方程存在唯一解，且使的充分必要条件是能稳定，能检测。若还有能观测，则有定理2的证明2211111121211111121,,26.46.561.6TTTnnHHABCAABBHWCCA若能稳定，能检测，则由引理可知，矩阵没有虚轴上的特征值，并存在，使式成立。其中可逆，由式6.4，可得记，则上式充分性解的存在为性。可写1121111121211111121111111112111211121112111112111211111121