SPC(高级)教程

SPC（高级）教程品质保证部2003年11月13日目录：基本实验设计1.1估计1.2假设检定1.3实验设计1.1估計意義：由樣本資料對母體未知參數所做之估計可分為：估計量(estimator)是用來估算母體參數之統計量。估計值(estimate)則是樣本資料經過估計量計算所得的特定值。點估計是利用樣本資料，求得一估計值以表示未知參數的方法。由母體中抽取樣本，根據資料計算或得知樣本各種代表值稱為統計量(statistic)。例如若為樣本中的觀測值。則：樣本平均數：用以估計母體平均μ。樣本變異數：用以估計母體變異數：樣本標準差：用以估計母體標準σ。點估計(pointestimation)：區間估計是一個隨機區間，使得參數之真實直落在此一隨機區間內，具有某種機率水準，此隨機機率區間通常稱為信賴區間(confidenceinterval,CI)。參數的區間估計值是由兩個統計量所構成的區間，此區間須使參數落在此區間內之機率具有某種水準，即P{L≦θ≦L}=1－α1－α稱為信賴係數或信賴水準，L稱為信賴下限，U稱為信賴上限。上述之區間稱為未知參數θ之100(1－α)%雙邊信賴區間。在應用上可能會需要單邊信賴區間，如P{L≦θ}=1－α，或P{θ≦L}=1－α。区间估计：假設隨機變數X之平均值μ為未知，變異數已知為。由樣本大小為n之樣本，估計出平均數。則母體平均數μ之100(1－α)％信賴區間為：若母體之分配不為常態，則由中央極限定理，上述之信賴區間可視為μ之100(1－α)％近似信賴區間。母體平均數之信賴區間，變異數已知：若X為常態分配隨機變數，平均值μ與變異數均為未知，由樣本大小為n之樣本，估計出平均數，樣本標準差為，則平均數μ之100(1－α)％信賴區間為：常態分配母體平均數之信賴區間，變異數未知：隨機變數之平均數為，變異數為。之平均數為，變異數為。若、未知，與已知，兩母體各抽、組樣本，平均數差－之100(1－α)％信賴區間為：二母體平均數差之信賴區間，變異數已知：假設，。平均數、，變異數、均未知，但兩變異數可假設相等，即＝＝。兩母體各抽、組樣本，分別可得平均數為，變異數。由於兩母體之變異數假設為相等，可利用下列公式計算混合樣本變異數(pooledsamplevariance)，做為的估計值。兩母體平均數差－之100(1－α)％信賴區間為二母體平均數差之信賴區間，變異數未知但可假設相等：假設X為常態分配之隨機變數，其平均數和變異數均為未知。今從樣本數為n之隨機樣本所估計出的樣本變異數為Ｓ，則變異數之100(1-a)%雙邊信賴區間為≦≦，其中為卡方分配右尾尾端機率為所對應之卡方值，亦即P{}=。單邊之100(1-a)%上、下信賴區間分別為和常態分配變異數之信賴區間：假設X~N()，且，其中均為未知。若S和S為樣本變異數，樣本數分別為和，則兩常態母體變異數比的雙邊100(1-a)%信賴區間為其中為F分配右尾尾端機率為a/2所對應之F值，亦即。兩變異數比的單邊上、下信賴區間分別為二常態母體變異數比的信賴區間：1.2假設檢定意義：假設檢定是根據機率理論，由樣本資料來驗證對母體參數之假設是否成立之統計方法。統計假設(statisticalhypothesis)是對機率分配之參數所作的陳述。例如我們認為某產品之內徑平均數為1.0㎝，此陳述可表示為：所代表之陳述稱為虛無假設(nullhypothesis)，而稱為對立假設(alternativehypothesis)。此例子的對立假設表示平均數不是大於1.0，就是小於1.0，此種假設稱為雙邊之對立假設。當然在某些情況下我們需要單邊之統計假設。例如：μ﹦1.0，：μ＞1.0。實施假設檢定之步驟：假設檢定之過程包含下列步驟：決定與決定適合之檢定統計量選取顯著水準α根據檢定統計量之機率分配，找出拒絕之區域。由母體抽取一組隨機樣本，計算檢定統計量之值。做出拒絕或不拒絕之決策。注意事項：在進行假設檢定時，有兩種錯誤須注意。型Ⅰ誤差是指為真時，做出拒絕之錯誤機率，一般以α表示。而型Ⅱ誤差則是指為偽，而做出不拒絕之錯誤機率，通常以β表示。即α＝P{型Ⅰ誤差}＝P{拒絕｜為真}β＝P{型Ⅱ誤差}＝P{不拒絕｜為偽}在品質管制之驗收抽樣計畫中，α稱為生產者風險；β稱為消費者風險。常用之統計假設方法：常態母體平均數μ的檢定變異數已知假設X為一隨機變數，變異數已知為，平均值μ為未知。虛無假設為：μ﹦(為一個標準值)隨機抽取樣本數為n之樣本，假設樣本平均值為，則檢定統計量可寫成單邊或雙邊的對立假設，拒絕之條件如下：對立假設條件拒絕之條件：μ＞Z＞：μ＜Z＜：μ≠Z＞或Z＜－變異數未知當母體標準差未知時，則以樣本標準差S估計，若樣本數n＞30，則檢定統為：，拒絕之條件與變異數已知情況相同。若樣本數n＜30則採用下列統計量：單邊或雙邊的對立假設條件，其拒絕之條件如下：對立假設條件拒絕之條件：μ＞T＞：μ＜T＜：μ≠T＞或T＜－兩常態母體平均數差的檢定：二母體變異數和已知假設二母體平均數﹐未知，但已知變異數和。虛無假設為：－＝△現自第一個母體抽取個隨機樣本，其樣本平均數為，另外從第二個母體抽取個隨機樣本，其樣本平均數為。檢定統計量可寫成在不同的對立假設下，拒絕之條件如下：對立假設拒絕之條件:－＞△:－＜△:－≠△或二母體變異數和未知，但可假設相等假設＝＝，則的不偏估計量為：其中和是樣本變異數。檢定統計量可寫成上述檢定程序一般稱為pooledttest，稱為混合估計之共同變異數。對立假設拒絕之條件:－＞△:－＜△:－≠△或常態母體變異數的檢定一個常態變異數之檢定檢定一個母體常態變異數等於一個常數，則檢定統計量為：其中是從樣本數n之隨機樣本所估計之樣本變異數。虛無假設為：在不同對立假設下，拒絕虛無假設之條件如下：對立假設拒絕之條件或若母體不為常態分配，但樣本數很大時，可利用下列統計量來檢定：兩個常態變異數之檢定：假設從變異數為之兩個常態母體分別抽取樣本數為的樣本，樣本變異數為。虛無假設為：檢定統計量為：拒絕之條件如下對立假設拒絕之條件或1.3實驗設計在統計製程管制實施過程，可能會出現很多問題，而有些問題並非僅藉由前一單元所介紹的品管手法即可解決，更具系統化、整合性的分析方法就非常重要。目前實務應用上，實驗設計（ExperimentDesign）是常見之整合性系統分析工具，而且經由各方面的發展，實驗設計應用於多變數分析上，具有絕佳的效果。意義：所謂「實驗」是研究人員針對特別的系統或製造程序，在一個虛擬的現場進行調查與研究。更正式地說，實驗是一個或一連串的有目改變輸入變數，藉以觀察此製造程序或系統變化的原因。而實驗設計就是以有系統的方法設計實驗，研究影響某種（些）反應之重要因子，作為控制或改進的參考依據。對於凡事講求效率的現在，實驗設計是一個有效的工具。例如一個冶金工程師想知道，用油或鹽水來焠火對鋁合金進行硬處理的效果何者較好。所以他決定用不同成份的鋁合金進行此兩種焠火的實驗。可是也許有人會有下列的問題：是否還有其他可能的焠火方法？是否有其他因子可能影響到硬處理結果？每個焠火該進行幾個鋁合金樣本試驗？在焠火中的樣本該如何進行？資料該如何收集？該使用何種資料分析方法？兩種焠火方法所造成的硬度差才可稱為有明顯不同？在實驗進行前，這些問題要一一解決，否則實驗結果並不能代表什麼。这里所介紹的實驗設計，針對實驗可能發生的問題，利用系統化的方式加以避免，同時在最經濟的情況下，得到最小實驗誤差之數據，作為進一步統計分析之參考，最後達到尋求符合生產目標（如良率）的生產條件組合。實驗之重點在研究我們有興趣的製造程序或系統，而此系統或製造程序通常會被很多因子所影響，包括可控制與非控制因子，如下圖：所以實驗的目的有下列四點：找出對輸出影響最大的因子尋求最能使輸出符合目標值的因子值組調整可控制因子讓輸出值得變異最小尋找可控制因子之值，使非控制因子對輸出的影響極小化實驗設計之方法簡介實施步驟使用統計方法進行設計與分析一個實驗時，每個參與的人事前一定要清楚的了解，目前實驗的目標、資料收集方法與基本的資料數值分析，下面的實驗步驟是Coleman與Montgomery在1993年所提出。1.找出並詳細說明問題所在實施實驗設計前，了解問題應該是很明顯的事，然而要將問題找出來並清楚地描述出問題的面貌，並非如想像中的簡單，因為需要對實驗對象有完整的認知才行。通常須邀集所有相關單位人員，如工程部、品管部、製造部、行銷部等等，把可能相關的因子一一列舉出來，在分析出可能之重要因子後，仔細說明問題現象與因子之間的關係。此步驟對接下來的實驗設計非常重要。2.決定影響之因子與其水準數和範圍實驗前必須找出影響之因子與因子變化的範圍，特別是實驗變數的水準。如何將因子控制在實驗水準值和如何測量其值都要仔細考慮。例如：錫爐實驗中，工程師找到12個會影響的變數，接下來工程師需分別訂出每個變數變化的範圍，與在這些範圍中該取幾個水準數，此時有關製程的知識就很重要；這些製程知識是包含實務經驗與理論了解。在實驗初期或製程並不成熟時，應儘量考慮所有可能因子，以防有遺珠之憾。當時驗得目的在尋找關鍵因素時，因子水準數會取的少，一般取2個水準數。決定實驗因子的範圍上，因子審查時，範圍要廣些；一但確定重要因子時，範圍則取小些，以便能明確知道實驗因子最佳值。3.選擇應變數選擇應變數時，實驗者需確定此變數真的能提供製程有用的資訊，最常被用來代表量測之特徵值是平均數或變異數（或兩者）。多應變數並不常見。量測誤差（measurementerror）是實驗中重要的因子，因為量測誤差很大時，只有影響較大的因子會被偵測出，或需要進行重複實驗，再以平均值做為觀測值。與應變數相關的資料亦非常重要，如實驗前應變數的情況與其它相關資訊等。在此需再次說明的是，於步驟一至三中，對製程有完整的認識將會對接下來的實驗結果產生關鍵性的影響，此三個步驟稱為「實驗前規劃」。一個製程通常牽涉各方面的專業知識，並非個人可以掌握，所以最好由一個包含所有相關部門人員所組成的團隊來進行。4.尋找適當之實驗設計如果「實驗前規劃」正確無誤的完成，此步驟即相當容易。選擇正確設計與樣本大小息息相關，但是合適的實驗次數與區塊、隨機限制等都與設計有關。選擇設計時，必須時時將實驗目的放在心中，因為初步實驗的目的在找出影響較大的因子，接下來的實驗則在了解這些因子所造成的影響有多大。其它實驗可能在比較同質性，例如條件A是現有之標準製造程序，條件B則是經濟的製程，此實驗的目的是希望證明條件A與B對製程產品良率的影響並無不同。5.進行實驗執行實驗時，需監視實驗程序確實依計畫進行，如果在實驗中發生錯誤，可能會使實驗無效。因為在「實驗前規劃」時可能會低估在複雜製程或研發環境中進行實驗的困難度，如果實驗前即做好分析動作，實驗成功的可能性將大大提升。6.統計分析資料分析時，利用統計方法會使結論客觀，如果正確的設計出實驗，實驗步驟也進行無誤，接下來的統計分析就不難，目前功能強大的實驗分析軟體如SPSS、Minitab、SAS、JMP等都可以加以運用，同時，殘差分析及模型驗證也需進行。在做出結論與建議時，需謹記：統計方法並不能證明某個因子具有特別的影響，因為它們只能提供可信度與有效性的指導方針，藉此我們可以度量結論的可能誤差獲得知其信賴區間。結合製程知識後，可以做出完整的結論。7.做出結論與建議data分析後，實驗者可依結果做出實務的結論，依此結論再做出建議或採舉的動作，如後續實驗和確認測試，以證明實驗的有效性。整個過程中，實驗其實是一個學習製程的一部份，因為我們先對實驗之製程做一個假設，執行實驗後驗證假設的正確性；再從結果中形成另一個假設，如此連續下去而成一個循環。但是常常有人會將實驗設計成單一、大型與廣泛的形式，這是錯誤的做法。一個成功的實驗設計要完全了解重要因子、分布範圍、合適的因子水準數與測量應變變數合適的單位，可是我們不可能完全掌握這些資訊，但在一次次實驗進行中，這些我們會找到這些資